- Точка Лемуана
-
То́чка Лемуа́на (точка пересечения симедиан, точка Гребе, обозначается или ) — одна из замечательных точек треугольника.
Содержание
Определение
У точки Лемуана существует два равносильных определения:
- точка пересечения прямых, соединяющих каждую вершину треугольника с точками пересечения касательных к описанной окружности, проведённых из двух других вершин.
- точка пересечения симедиан.
Утверждние о равносильности этих определений называется теоремой о симедиане.
ДоказательствоПусть — точка пересечения касательных в вершинах и к описанной окружности, — середина стороны . Тогда, так как — поляра точки относительно описанной окружности, а — основание перпендикуляра на сторону из центра описанной окружности. Из определения поляры следует, что точки и симметричны относительно окружности. Пусть точка — середина дуги описанной окружности, не содержащей точки . Тогда , то есть прямая и медиана симметричны относительно биссектрисы . Аналогично симметричны медианам другие две прямые, построенные таким образом. Но их точка пересечения — точка Лемуана, а, значит, точка Лемуана изогонально сопряжена точке пересечения медиан и является точкой пересечения симедиан.
История
Впервые точку Лемуана обнаружил (1809) швейцарский геометр и тополог Симон Антуан Жан Люилье. Этой точке было посвящено исследование (1847) Эрнста Вильгельма Гребе, в честь которого в Германии она называлась точкой Гребе. Точка названа в честь французского геометра Эмиля Лемуана, опубликовавшего доказательство существования точки (1873).
Свойства
- Сумма квадратов расстояний от точки на плоскости до сторон треугольника минимальна, когда эта точка является точкой Лемуана.
- Расстояния от точки Лемуана до сторон треугольника пропорциональны длинам сторон.
- Точка Лемуана является точкой пересечения медиан треугольника, образованного проекциями точки Лемуана на стороны. Более того, такая точка единственна.
- Точка Лемуана является точкой Жергонна треугольника, образованного касательными к описанной окружности в вершинах треугольника.
- Точка Лемуана является антиперспектором описанной окружности. Трилинейные поляры точек на описанной окружности проходят через точку Лемуана.
- Если провести через точку Лемуана отрезки, параллельные сторонам треугольника, с концами на сторонах, то концы этих отрезков будут лежать на одной окружности.
- Если провести через точку Лемуана отрезки, антипараллельные сторонам треугольника, с концами на сторонах, то концы этих отрезков будут лежать на одной окружности. Точка Лемуана будет её центром.
- Окружность, построенная на отрезке ( — центр описанной окружности) как на диаметре, содержит точки Брокара. Эта окружность называется окружностью Брокара.
- Прямая называется осью Брокара. Она содержит точки Аполлония и изогонально сопряжена гиперболе Киперта.
- При проективных преобразованиях, сохраняющих описанную окружность треугольника, точка Лемуана будет переходить в точку Лемуана образа этого треугольника.
Координаты
Трилинейные координаты точки Лемуана — , барицентрические — .
Примечания
Категория:- Замечательные точки треугольника
Wikimedia Foundation. 2010.