- Дилогарифм
-
Дилогари́фм — специальная функция в математике, которая обозначается и является частным случаем (n=2) полилогарифма . Дилогарифм определяется как
Приведённое определение дилогарифма верно для комплексных значений переменной z. Для действительных значений z=x у этой функции есть разрез вдоль действительной оси от 1 до . Обычно значение функции на разрезе определяется так, что мнимая часть дилогарифма отрицательна:
Функцию часто называют дилогарифмом Эйлера, в честь Леонарда Эйлера, который рассмотрел эту функцию в 1768 году[1]. Иногда дилогарифм называют функцией Спенса (Spence's function), в честь шотландского математика Уильяма Спенса (William Spence, 1777—1815)[2], который в начале XIX века исследовал функции, соответствующие и . Название "дилогарифм" было введено Хиллом (C.J. Hill) в 1828 году.
Содержание
Функциональные соотношения
Для дилогарифма существует ряд полезных функциональных соотношений,
Для действительных ,
Известны также соотношения, содержащие две независимые переменные — например, тождество Хилла:
Частные значения
Используя соотношение между функциями от x и 1/x, получаем
Существует также ряд результатов для аргументов, связанных с золотым сечением ,
а также для дилогарифма мнимого аргумента,
где G — постоянная Каталана.
Соотношения для частных значений
Функции, связанные с дилогарифмом
- Функция Клаузена
- Возникает при рассмотрении дилогарифма, аргумент которого находится на единичной окружности в комплексной плоскости,
- Таким образом,
- Функция Лобачевского
- Эта функция используется при вычислении объёмов в гиперболической геометрии, и она связана с функцией Клаузена (а следовательно и с дилогарифмом),
- Иногда используется другое определение функции Лобачевского,
- Интегральный арктангенс
- Возникает при рассмотрении дилогарифма мнимого аргумента,
- Таким образом,
- Эта функция выражается через дилогарифмы как
- В частности, .
Примечания
Ссылки
- Leonard Lewin, Dilogarithms and associated functions. — Macdonald, London, 1958. MR0105524
- Leonard Lewin, Polylogarithms and associated functions. — North Holland, New York, Oxford, 1981.
- Don Zagier, The dilogarithm function (PDF)
- Weisstein, Eric W. Dilogarithm (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Категории:- Специальные функции
- Логарифмы
Wikimedia Foundation. 2010.