- Полный дифференциал
-
Дифференциа́л в математике — линейная часть приращения функции или отображения. Это понятие тесно связанное с понятием производной по направлению.
Обычно дифференциал f обозначается df, а его значение в точке x обозначается dxf.
Содержание
Неформальное описание
Рассмотрим гладкую функцию f(x). Проведем касательную к ней в точке x, и отложим на этой касательной отрезок, такой длины, чтобы его проекция на ось x была равна Δx. Проекция этого отрезка на ось y называется дифференциалом функции f(x) в точке x от Δx. Таким образом, дифференциал может пониматься как функция двух переменных x и Δx,
определяемой соотношением
в частности, разность приращения функции и её дифференциала — бесконечно малая величина:
- f(x + Δx) = f(x) + dxf(Δx) + o(Δx).
Определения
Для функций
Дифференциал гладкой вещественнозначной функции f определённой на M (M — область в или гладкое многообразие) представляет собой 1-форму и обычно обозначается df и определяется соотношением
где обозначает производную f по направлению вектора X в касательном расслоении M.
Для отображений
Дифференциал гладкого отображения из гладкого многообразия в многообразие есть отображение между их касательными расслоениями, , такое что для любой гладкой функции имеем
где Xf обозначает производную f по направлению X. (В левой части равенства берётся производная в N функции g по dF(X) в правой — в M функции по X).
Это понятие естественно обобщает дифференциал функции.
Связанные определения
- Гладкое отображение называется субмерсией, если для любой точки , дифференциал сюръективен.
- Гладкое отображение называется гладким погружением, если для любой точки , дифференциал инъективен.
Свойства
- Дифференциал композиции равен композиции дифференциалов:
- или
Примеры
- Пусть в открытом множестве задана гладкая функция . Тогда df = f'dx, где f' обозначает производную f, а dx является постоянной формой определяемой dx(V) = V.
- Пусть в открытом множестве задана гладкая функция . Тогда . Форма dxi может быть определена соотношением dxi(V) = vi, для вектора .
- Пусть в открытом множестве задано гладкое отображение . Тогда
dxF(v) = J(x)v,
где J(x) есть матрица Якоби отображения F в точке x.
История
Термин Дифференциал (от лат. differentia — разность, различие) введён Лейбницем. Изначально, dx применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики (за исключением нестандартного анализа).
См. также
Wikimedia Foundation. 2010.