- Поток (интуиционизм)
-
Пото́к — одно из основных понятий интуиционистской математики.
Определение
Поток определяется как совокупность двух законов и , называемых законом потока и дополнительным законом, соответственно. Закон потока делит кортежи натуральных чисел на допустимые и недопустимые, и должен обладать следующими свойствами:
- Пустой кортеж является допустимым.
- Для любого допустимого кортежа найдётся по меньшей мере одно натуральное число , для которого кортеж также будет допустимым.
- Для любого допустимого кортежа вида кортеж также является допустимым.
Дополнительный закон сопоставляет допустимым кортежам произвольные математические объекты.
Свободно становящиеся последовательности натуральных чисел , для которых при любом кортеж является допустимым по закону потока , называются допустимыми свободно становящимися последовательностями. Отвечающие им последовательности (где — дополнительный закон потока ) называются элементами потока .
Образно поток может быть представлен как дерево, из каждой вершины которого выходит по меньшей мере одна ветвь, и на каждую вершину которого «навешен» тот или иной математический объект. Допустимые свободно становящиеся последовательности натуральных чисел можно представлять в виде бесконечных путей в таком дереве.
Применение в интуиционистской математике
На понятии потока основаны многие конструкции интуиционистского анализа. Так, континуум нередко рассматривается в интуиционистской математике как следующий поток рациональных отрезков:
- допустимыми по закону потока считаются кортежи, все элементы которых равны или ;
- если допустимому кортежу дополнительным законом сопоставлен отрезок , то кортежу сопоставляется отрезок , а кортежу — отрезок .
Элементы этого потока считаются вещественными числами, лежащими на отрезке .
Запирающие условия и бар-индукция
Пусть — некоторое условие, накладываемое на допустимые кортежи. Такое условие называется запирающим поток, если для любой допустимой по закону потока свободно становящейся последовательности найдётся номер , для которого кортеж удовлетворяет условию . В интуиционистской математике считается приемлемым следующий способ умозаключения:
Пусть условие запирает поток , и пусть условие , накладываемое на допустимые кортежи потока , обладает следующими свойствами:
- Любой допустимый кортеж, удовлетворяющий условию , удовлетворяет условию .
- Если все допустимые кортежи вида удовлетворяют условию , то допустимый кортеж также удовлетворяет условию .
В таком случае пустой кортеж удовлетворяет условию .
Такой способ умозаключения называется бар-индукцией.
Одним из характерных примеров применения бар-индукции является принадлежащая Л. Э. Я. Брауэру теорема о веере:
- «если поток финитарен (то есть из каждой его вершины выходит лишь конечное число ветвей) и условие запирает поток , то найдётся такое натуральное число , что для любой допустимой свободно становящейся последовательности найдётся удовлетворяющий условию кортеж со свойством .»
В теоретико-множественной математике аналогичное утверждение известно под именем «леммы Кёнига».
Для улучшения этой статьи по математике желательно?: - Викифицировать статью.
- Проставить интервики в рамках проекта Интервики.
- Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
Категории:- Философия математики
- Логика
Wikimedia Foundation. 2010.