- Разрешимая группа
-
В алгебре группа называется разрешимой, если в ней существует цепочка вложенных коммутантов, последний из которых состоит из нейтрального элемента.
Цепочка коммутантов определяется так: — это сама группа а , то есть это коммутант предыдущего элемента цепочки. Переформулируем теперь определение разрешимости: группа разрешима, если .
Свойства
- Если — нормальная подгруппа в , разрешима и факторгруппа разрешима, то разрешима. В частности,
- Если две группы разрешимы, то их прямое произведение (и даже полупрямое произведение) разрешимо.
- Всякая подгруппа и факторгруппа разрешимой группы разрешима.
- Если порядок конечной группы делится только на два простых числа, то такая группа разрешима.
Примеры
- Группа невырожденных верхних треугольных матриц UTn разрешима.
- Свободная группа ранга больше единицы не является разрешимой.
- Симметрическая группа является разрешимой тогда и только тогда, когда .
- Конечная группа порядка , где и — простые числа (Теорема Бёрнсайда) разрешима.
История
Термин «Разрешимая группа» возник в теории Галуа и связан с разрешимостью алгебраических уравнений в радикалах.
Для улучшения этой статьи желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
Категория:- Теория групп
- Если — нормальная подгруппа в , разрешима и факторгруппа разрешима, то разрешима. В частности,
Wikimedia Foundation. 2010.