- Бета распределение
-
Бета-распределение Плотность вероятности
Функция распределения
Параметры α > 0
β > 0Носитель Плотность вероятности Функция распределения Математическое ожидание Медиана Мода для α > 1,β > 1 Дисперсия Коэффициент асимметрии Коэффициент эксцесса Информационная энтропия Производящая функция моментов Характеристическая функция
Бе́та распределе́ние в теории вероятностей и статистике — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.Содержание
Определение
Пусть распределение случайной величины X задаётся плотностью вероятности fX, имеющей вид:
- ,
где
- α,β > 0 произвольные фиксированные параметры, и
- — бета-функция.
Тогда случайная величина X имеет бета-распределение. Пишут: X˜B(α,β).
Форма графика
Форма графика плотности вероятности бета-распределения зависит от выбора параметров α и β.
- — график выпуклый и уходит в бесконечность на границах (красная кривая);
- или — график строго убывающий (синяя кривая)
- — график строго выпуклый;
- — график является прямой линией;
- — график строго вогнутый;
- график совпадает с графиком плотности стандартного непрерывного равномерного распределения;
- или — график строго возрастающий (зелёная кривая);
- — график строго выпуклый;
- — график является прямой линией;
- — график строго вогнутый;
- — график унимодальный (пурпурная и чёрная кривые)
В случае, когда α = β, плотность вероятности симметрична относительно 1 / 2 (красная и пурпурная кривые), то есть
- .
Моменты
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, имеющей бета-распределение, имеют вид:
- ,
- .
Связь с другими распределениями
- Стандартное непрерывное равномерное распределение является частным случаем бета-распределения:
- .
- Если X,Y — независимые гамма распределённые случайные величины, причём X˜Γ(α,1), а Y˜Γ(β,1), то
- .
Вероятностные распределения Одномерные Многомерные Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | Лоренца | нормальное (Гаусса) | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное править
Wikimedia Foundation. 2010.