- Интегральный оператор Фредгольма
-
В математике интегральное уравнение Фредгольма — это интегральное уравнение, ядром которого является ядро Фредгольма. Названо так по имени изучавшего его Ивара Фредгольма. Со временем выросло в самостоятельный раздел функционального анализа — теорию Фредгольма, которая изучает ядра Фредгольма и операторы Фредгольма.
Содержание
Общая теория
Общая теория, основанная на уравнениях Фредгольма, известна как теория Фредгольма. В теории рассматривается интегральное преобразование специального вида
где функция K называется ядром уравнения, а оператор A, определяемый как
, называется оператором (или интегралом) Фредгольма.
Одним из основополагающих результатов является факт, что ядро K есть компактный оператор, известный иначе как оператор Фредгольма. Компактность может быть показана с помощью равномерной непрерывности. Как к оператору, к ядру может быть приложена спектральная теория, изучающая спектр собственных значений.
Уравнение первого рода
Неоднородное уравнение Фредгольма первого рода имеет вид:
а задача состоит в том, что при заданной непрерывной функции ядра K(t,s) и функции g(t) найти функцию f(s).
Если ядро является функцией разности своих аргументов, то есть K(t,s) = K(t − s), и пределы интегрирования , тогда правая часть уравнения может быть переписана в виде свёртки функций K и f, а, следовательно, решение даётся формулой
где и — прямое и обратное преобразования Фурье соответственно.
Уравнение второго рода
Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода выглядит так:
Задача состоит в том, чтобы имея ядро K(t,s) и функцию f(t), найти функцию . При этом существование решения и его множественность зависит от числа λ, называемого собственным числом. Стандартный подход решения использует понятие резольвенты; записанное в виде ряда решение известно как ряд Лиувилля-Неймана.
- .
Ссылки
- Интегральные уравнения: Точные решения — из EqWorld: Мир математических уравнений.
- Интегральные уравнения: Методы решения — из EqWorld: Мир математических уравнений.
Рекомендуемая литература
А. Д. Полянин, А. В. Манжиров. Справочник по интегральным уравнениям. Москва, Физматлит, 2003.
Wikimedia Foundation. 2010.