Теорема Вивиани

Сумма длин отрезков ℓ + m + n равна высоте равностороннего треугольника.

Теорема Вивиани, названная в честь Винченцо Вивиани, утверждает, что сумма расстояний от произвольной точки внутри равностороннего треугольника до его сторон равна высоте треугольника.

Теорема может быть расширена на равносторонние многоугольники и многоугольники с равными углами. В частности, сумма расстояний от точки до прямых, построенных на сторонах многоугольника с равными углами (или равностороннего, не зависит от выбора точки.^[1]

Доказательство

Теорема может быть доказана путём сравнения площадей треугольников. Пусть ABC — равносторонний треугольник, в котором h — это высота, и s — длина каждой из сторон. Точка P выбирается произвольно внутри треугольника, и тогда ℓ, m, n — расстояния от точки P до сторон треугольника. Тогда площадь треугольника ABC будет:

$S(ABC) = S(ABP) + S(ACP) + S(BCP),\,$

$\frac{s h}{2} = \frac{s \ell}{2} + \frac{s m}{2} + \frac{s n}{2},$

$h = \ell + m + n\,$

Приложения

Диаграмма воспламеняемости метана

Теорема Вивиани позволяет получать координаты точек на трёхкомпонентные диаграммы (англ.) путём проведения линий, параллельных сторонам равностороннего треугольника. В частности, таким образом можно строить диаграммы воспламеняемости (англ.).

В более общем случае, они позволяют таким же образом задавать координаты на правильном симплексе.

Примечания

1. ↑ Elias Abboud «On Viviani’s Theorem and its Extensions» pp. 2, 11

• Weisstein, Eric W. Viviani's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

• Li Zhou, Viviani Polytopes and Fermat Points

Ссылки

• Viviani’s Theorem: What is it? at Cut the knot.
• Viviani’s Theorem by Jay Warendorff, the Wolfram Demonstrations Project.