- Шар (метрическая геометрия)
-
Шар (метрическая геометрия)
Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.
Содержание
Определения
Пусть дано метрическое пространство (X,ρ). Тогда
- Шаром (или открытым шаром) с центром в точке и радиусом r > 0 называется множество
- Замкнутым шаром с центром в x0 и радиусом r называется множество
Замечания
Шар радиуса r с центром x0 также называют r-окрестностью точки x0.
Свойства
- Шар является открытым множеством в топологии, порождённой метрикой ρ.
- Замкнутый шар — замкнутым множеством в топологии, порождённой метрикой ρ.
- По определению такой топологии открытые шары с центрами в любой точке X являют собой её базу.
- Очевидно, . Однако, вообще говоря, замыкание открытого шара может не совпадать с замкнутым шаром:
- Например: пусть (X,ρ) — дискретное метрическое пространство, и X состоит из более, чем двух точек. Тогда для любого имеем:
Примеры
- Пусть — евклидово пространство с обычным Евклидовым расстоянием. Тогда
-
- если d = 1 (пространство — прямая), то
-
- — открытый и замкнутый отрезок соответственно.
- если d = 2 (пространство — плоскость), то
-
- — открытый и замкнутый диск соответственно.
- если d = 3, то
-
- — открытый и замкнутый стереометрический шар соответственно.
- В иных метриках шар может иметь иную геометрическую форму. Например, определим в евклидовом пространстве метрику следующим образом:
- Тогда
См. также
- Диск (топология)
Wikimedia Foundation. 2010.
Шар (значения) — Шар: В Викисловаре есть статья «шар» Шар (стереометрия) геометрическое тело. Шар (метрическая геометрия) окрестность точки в n мерном множестве. Шар (спортивный инвентарь) вид спортивного инвентаря. Шар (остров) малый остров… … Википедия
ε-окрестность — окрестность множества в функциональном анализе и смежных дисциплинах это такое множество, каждая точка которого удалена от данного множества менее, чем на . Содержание 1 Определения 2 Замечания … Википедия
Сфера — У этого термина существуют и другие значения, см. Сфера (значения). сфера (каркасная проекция) … Википедия
Ε-окрестность — окрестность множества в функциональном анализе и смежных дисциплинах это такое множество, каждая точка которого удалена от данного множества менее, чем на . Определения Пусть суть метрическое пространство … Википедия
Δ-окрестность — окрестность множества в функциональном анализе и смежных дисциплинах это такое множество, каждая точка которого удалена от данного множества менее, чем на . Определения Пусть суть метрическое пространство, и … Википедия
Эпсилон-окрестность — окрестность множества в функциональном анализе и смежных дисциплинах это такое множество, каждая точка которого удалена от данного множества менее, чем на . Определения Пусть суть метрическое пространство, и … Википедия
Расстояние Чебышева — Определение Расстоянием Чебышева между n мерными числовыми векторами называется максимум модуля разности компонент этих векторов. Расстояние Чебышева задает метрику на . Это расстояние нередко обозначается через , поскольку является частным… … Википедия
Метрика Хаусдорфа — есть естественная метрика, определённая на множестве всех непустых компактных подмножеств метрического пространства. Таким образом, метрика Хаусдорфа превращает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства в… … Википедия
Турция — I Турецкая империя или Т. монархия (тур. Memâlik i Osmanije, Devlet i Alije, Osmanh vilajeti, франц. Turquie, нем. Türkei, Osmanisches Reich, англ. Turkey) так называется совокупность земель, считающихся подвластными турецкому султану или… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона