- Распределение Лапласа
-
Распределение Лапласа Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение {{{notation}}} Параметры - коэффициент масштаба
- Коэффициент сдвигаНоситель Плотность вероятности Функция распределения Математическое ожидание Медиана Мода Дисперсия Коэффициент асимметрии Коэффициент эксцесса Информационная энтропия Производящая функция моментов ? Характеристическая функция
Распределе́ние Лапла́са (двойно́е экспоненциа́льное) — в теории вероятностей это непрерывное распределение случайной величины, при котором плотность вероятности есть- , ,
- где — параметр масштаба, — параметр сдвига.
Содержание
Функция распределения
По определению функция распределения — это интеграл от плотности распределения:
Для интегрирования необходимо рассмотреть два случая: и
Проверка свойств полученной функции:- не убывает, так как положительна.
- , следовательно, непрерывна в точке
- ограничена.
- Пределы на бесконечностях:
Математическое ожидание и дисперсия
В показателе экспоненты функции плотности содержится модуль разности, поэтому интервал необходимо разбить на и . Интегралы берутся по частям, при подстановке бесконечностей () рассматриваются пределы вида .
Моменты
Применяя формулу интегрирования по частям несколько раз, получаем:
После подстановок пределов интегрирования:
Так как первый интеграл зависит от чётности k рассматриваются два случая: k — чётное и k — нечётное:Или, в общем виде:
, где — целая часть x.
Характеристическая функция
Оба интеграла находятся, используя формулу Эйлера и классический пример нахождения интегралов вида и (см. Интегрирование по частям:Примеры):
Окончательно характеристическая функция есть:См.также
- Экспоненциальное разбиение
Одномерные Многомерные Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | дискретное равномерное мультиномиальное Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | гиперэкспоненциальное | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | логистическое | Накагами |Парето | полукруговое | непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | variance-gamma многомерное нормальное | копула Категория:- Непрерывные распределения
Wikimedia Foundation. 2010.