Отношение (логика)

У этого термина существуют и другие значения, см. Отношение.

Отноше́ние в логике первого порядка — двух- и более аргументный предикат (многоместный предикат), двух- и более предикатное свойство. Знак отношения: R.^{[уточнить]}

В терминах отношений вводятся многие важнейшие понятия логики и математики.

Суждение (высказывание), обозначающее отношение, называется относительным суждением (относительным высказыванием). В содержательных формулировках естественных языков отношение выражается обычно сказуемыми предложений, имеющих более одного подлежащего (или подлежащее и одно или несколько дополнений). Эти подлежащие и дополнения (в зависимости от их числа) в логике называются членами, субъектами или элементами данного отношения.

Также в зависимости от числа элементов в логике говорят о бинарных (двуместных, двучленных), тернарных (трёхместных, трёхчленных), в общем случае — о n-арных (n-местных, n-членных) отношениях.

Выражение отношений в формализованных языках

Основная статья: Отношение (математика)

Содержательные представления естественных языков реализуются в точных терминах теории множеств (алгебры^{[уточнить]}) и математической логики. Точное выражение (уточнение) теории множеств отражает экстенсиональный^{[уточнить]} (объёмный) аспект понятия отношения, уточнение математической логики — интенсиональный^{[уточнить]} (смысловой, содержательный) аспект.

Термин «алгебра отношений» используется^{[источник не указан 1026 дней]} и для обозначения соответствующего раздела алгебры, и как синоним термина «логика отношений».

На языке теории множеств и алгебры n-местным (n-арным, в частности, бинарным) отношением называется множество (класс) упорядоченных систем из n элементов (упорядоченных n-ок, соответственно — упорядоченных пар) членов некоторого множества. Это множество называется полем данного отношения.

Если, например, х находится в отношении R к у (символически: R(xy) или xRy), то на языке теории множеств это формулируется как принадлежность упорядоченной пары (х, у) полю отношения R.

Для понимаемых таким образом отношений определяются понятия области определения данного отношения и области его значений. Множество первых элементов упорядоченных пар, входящих в отношение R, составляет его область определения (область отправления). Множество их вторых элементов составляет область значений (область прибытия). Аналогичные понятия вводятся и для многоместных отношений. Поскольку отношения являются частными случаями множеств, для них также аналогично тому, как это делается в теории множеств, вводятся операции объединения (суммы^{[уточнить]}), пересечения (произведения^{[уточнить]}) и дополнения отношений.

В формализованных языках математической логики аналогом понятия отношения служит понятие (многоместного) предиката.

С помощью аппарата алгебры отношений вводятся многие важнейшие понятия логики и математики, например, понятия функции и операции.

Логика отношений

Основная статья: Логика отношений

Раздел логики, изучающий высказывания об отношениях между объектами разной природы^{[уточнить]}, называется логикой отношений.

Хотя в логических сочинениях Аристотеля можно найти высказывания об отношениях, логика отношений как теория не состоялась в античной логике. Несколько бо́льшую разработку эти идеи получили в средневековой логике.

По-настоящему логика отношений была создана только в Европе XIX века. Наиболее значительный вклад в её разработку внесли А. Чёрч, Б. Рассел. Из русских логиков можно назвать С. И. Поварнина.

Независимо от европейской традиции логика отношений была создана в Индии школой ньяя.

Поскольку в математической логике, начиная с XIX века, отно­шения выражаются посредством многоместных предикатов, современная модификация логики отношений в её составе разрабатывается как часть логики предикатов.

Отношение и свойство

Многоместные и одноместные предикаты записываются в математической логике в виде пропозици­ональных функций. Число переменных (аргументов) в функции характеризует число мест, на которые могут подставляться имена предметов. Отношения бывают двухместными, трёхместными и т. д.; общий случай называется n-местным отношением.

Виды пропозициональных функций

Обозначение функции	Название пропозициональной функции	Пример предиката и соответствующей ему пропозициональной функции	Действительность, которой соответствует пропозициональная функция	Пример реальности
Р(х) или Px	Пропозициональная функция с одной переменной	«Чётное число (х)» или «x — чётное число»	Свойство	«Быть чётным числом»
R(x, y) или xRy	Пропозициональная функция с дву­мя переменными	«х больше у», «Ока короче Волги», «рельсы параллельны между собой»	Двухместноое отношение	«Боль­ше», «короче», «быть параллельным».
R(x, у, z)	Пропозицио­нальная функция с тремя переменными	«х находится между у и z», «x есть сумма y и z»	Трёхместное отношение	«Находиться между», «быть суммой»
R(x, у, z, u)	Пропозицио­нальная функция с четырьмя переменными	«х относится к у, точно также, как z к u» («x, y, z, u являются членами пропорции»)	Четырёхместное отношение	«Быть членами пропорции»
и так далее

Отношение отличается от свойства тем, что приписывание свойства одному-единственному индивиду приводит к образо­ванию либо истинного, либо ложного суждения, а отношение есть такая характе­ристика, которая для образования либо истинного, либо лож­ного суждения требует по меньшей мере приписывания ее двум предметам.

Примеры образования ложных и истинных суждений

Характеристика	Пример функции	Пример истинного суждения	Пример ложного суждения	Пример бессмысленного выражения
Свойство	«х — чётное число»	«4 — чётное число» (подстановка индивида 4 вместо переменной х)	«5 — чётное число» (подстановка числа 5 вместо х)
Двухместное отношение	«х больше у»	«5 больше 3» (подстановка индивидов 5 и 3 вместо х и у)	«1 больше 2» (под­становка индивидов 1 и 2 вместо х и у)	«3 больше» (отнношение приписывается только одному индивиду 3)

Бессмысленное выражение в последней главе таблицы — выражение, которое не образует ни истинного, ни ложного суждения, и, таким образом лишено смысла.

Отношение также определяется как многоместное свойство, свойство — как одноместное отношение, но некоторые логические теории отвергают возможность такого отождествления.

Виды отношений

Виды отношений по числу элементов

• Бинарное отношение — то же, что двухместное отношение (двучленное отношение).
• Тернарное отношение — то же, что трёхместное отношение (трёхчленное отношение).
• Кватернарное отношение — то же, что четырёхместное отношение (четырёхчленное отношение)

Виды двухместных отношений по их свойствам

Основная статья: Бинарное отношение#Виды двухместных отношений по их свойствам

Опираясь на различные свойства двухместных отношений, можно из одних высказываний об отношениях выводить другие высказывания. В естественном языке трудность подобных выводов состоит в том, чтобы установить, обладает ли рассматриваемое отношение необ­ходимым для вывода свойством. Например, кажется, что отношение «быть братом» симметрично, поэтому из выс­казывания «а — брат b» можно сделать вывод о том, что «b — брат а». На самом деле, тут в равной степени возможен вывод «b — сестра a».

Литература

• Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук / Пер. с англ. — М., 1948.
• Чёрч А. Введение в математическую логику / Пер. с англ. — Т. 1. — М., 1960.
• Уемов А. И. Вещи, свойства и отношения. — М., 1963.
• Шрейдер Ю. А. Равенство, сходство, порядок. — М., 1971.

Источники

• Ивин А. А., Никифоров А. Л. Словарь по логике — М.: Туманит, ВЛАДОС, 1997. — 384 с.
• Гастев Ю. Л. Отношение в логике // Большая советская энциклопедия — (Раздел ст. «Отношение (философ.)»)
• Гастев Ю. Л. Логика отношений// Большая советская энциклопедия

В данной статье или разделе имеется список источников или внешних ссылок, но источники отдельных утверждений остаются неясными из-за отсутствия сносок. Вы можете улучшить статью, внеся более точные указания на источники.