Олимпиадные задачи

Олимпиадные задачи в математике — термин для обозначения круга задач, для решения которых обязательно требуется неожиданный и оригинальный подход.

Олимпиадные задачи получили своё название от популярных соревнований школьников и студентов, так называмых Математических олимпиад. Цель создания задач этой категории — воспитание в будущих математиках таких качеств как творческий подход, нетривиальное мышление и умение изучить проблему с разных сторон. Не случайно академик А. Н. Колмогоров в своей речи на открытии XII Всесоюзной Олимпиады школьников по математике сравнил работу математика с «чередой решения (порою больших и трудных) олимпиадных задач».

Внешняя простота олимпиадных задач — их условия и решения должны быть понятны любому школьнику — обманчива. Лучшие олимпиадные задачи затрагивают глубокие проблемы из самых разных областей математики. К сожалению, этой кажущейся простотой иногда пользовались не по назначению: на приёмных экзаменах с помощью таких задач отсеивали абитуриентов нежелательных национальностей . Неудивительно, что олимпиадные задачи из арсенала таких приёмных комиссий стали называть «гробами».

Олимпиадные задачи можно найти в Интернете, в периодических изданиях, а также в виде отдельных сборников. Они широко используются в работе математических кружков, заочных школ и для таких математических соревнований как олимпиады, турниры городов и математические бои.

Примеры

Задача олимпиадного типа, известная со времён Евклида:

Доказать, что существует бесконечно много простых чисел.

Задача решается методом от противного. Предположив, что простых чисел конечное число N, рассматриваем число, следующее за их произведением ($\prod_{i=1}^N{p_i} + 1$). Очевидно, что оно не делится ни на одно из использованных в произведении простых чисел, давая в остатке 1. Значит, либо оно само простое, либо оно делится на простое число, не учтённое в нашем (предположительно полном) списке. В любом случае, простых чисел, по крайней мере, N+1. Противоречие с предположением о конечности.

Типы задач

Несмотря на уникальность олимпиадных задач, можно всё-таки выделить несколько типичных идей, составляющих суть задач. Разумеется, по определению, такой список будет неполным.

• Задачи на инвариант
• Игра

См. также

• Категория:Олимпиадные задачи

Методы решения

Не существует единого метода решения олимпиадных задач. Напротив, количество методов постоянно пополняется. Некоторые задачи можно решить несколькими разными методами или комбинацией методов. Характерная особенность олимпиадных задач в том, что решение с виду несложной проблемы может потребовать применения методов, использующихся в серьёзных математических исследованиях. Ниже приводится (по определению) неполный список методов решения олимпиадных задач:

• Доказательство от противного.
• Принцип Дирихле.
• Решение методами другой науки (замена алгебраической задачи геометрической или физической и наоборот).
• Правило крайнего.
• Решение с конца.
• Поиск инварианта.
• Построение контрпримера.
• Математическая индукция.
• Рекурсия.
• Метод итераций.
• Подсчёт двумя способами.
• Метод аналогий.
• Провокационный метод.
• Вспомогательное построение.
• Переход в пространство большего числа измерений.
• Вспомогательная раскраска.

Большой вклад в популяризацию методов решения олимпиадных задач внесли публикации журнала «Квант», книги серий «Популярные лекции по математике», «Библиотека математического кружка» и другие книги, а также многочисленные веб-сайты, посвящённые олимпиадным задачам.

См. также

• Олимпиадные задачи по физике

Ссылки

• Коллекция олимпиадных задач
  
• Задачник «Кванта»
  
• ВЗМШ — Всесоюзная Заочная Математическая Школа
• Классификация олимпиадных задач по методам решения
• Библиотека МЦНМО