Непрерывное вэйвлет-преобразование

Непрерывное вейвлет-преобразование (англ. continuous wavelet transform, CWT) — вейвлет-преобразование, определяемое как

$\gamma(\tau, s) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x(t) \frac{1}{\sqrt{s}} \psi^{*} \left( \frac{t - \tau}{s} \right) dt$

где τ представляет трансляцию, s представляет масштаб и ψ(t) — вейвлет-родитель (mother wavelet).

Изначальная функция может быть восстановлена с помощью обратного преобразования

$x(t) = \frac{1}{C_\psi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \gamma(\tau, s) \psi\left( \frac{t - \tau}{s} \right) d\tau \frac{ds}{|s|^2}$

где

$C_\psi = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\left| \Psi(\zeta) \right|^2}{\left| \zeta \right|} d\zeta$

называется постоянной допустимости и Ψ — преобразование Фурье от ψ. Для того, чтобы обратное преобразование было успешным, постоянная допустимости должна соответствовать критерию допустимости

$C_\psi < +\infty$.

Также следует отметить, что критерий допустимости подразумевает, что Ψ(0) = 0, так что интеграл от вейвлета должен быть равен нулю. Вейвлет-родитель (mother wavelet) связан с вейвлетом-потомком (daughter wavelet) следующим соотношением:

$\psi_{s,\tau}(t) = \frac{1}{\sqrt{s}} \psi \left( \frac{t-\tau}{s} \right)$.