Октонион

А́лгебра Кэ́ли — определённый тип гиперкомплексных чисел, 8-мерная алгебра над полем вещественных чисел. Обычно обозначается $\mathbb{O}$, поскольку её элементы (числа Кэли) называются иногда октонионами или октавами.

Число Кэли — это линейная комбинация элементов {1,i,j,k,l,il,jl,kl}. Каждая октава x может быть записана в форме

$x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,l + x_5\,il + x_6\,jl + x_7\,kl.$

с вещественными коэффициентами x_i. Таблица умножения элементов октавы:

1	i	j	k	l	il	jl	kl
i	−1	k	−j	il	−l	−kl	jl
j	−k	−1	i	jl	kl	−l	−il
k	j	−i	−1	kl	−jl	il	−l
l	−il	−jl	−kl	−1	i	j	k
il	l	−kl	jl	−i	−1	−k	j
jl	kl	l	−il	−j	k	−1	−i
kl	−jl	il	l	−k	−j	i	−1

Свойства

• По теореме Фробениуса, алгебра Кэли является единственной 8-мерной вещественной альтернативной алгеброй без делителей нуля.
• Алгебра Кэли является алгеброй с однозначным делением и с единицей, альтернативной, но неассоциативной и некоммутативной.

История

Впервые рассмотрена в 1843 Грейвсом, приятелем Гамильтона, а двумя годами позже независимо Кэли.

Числа

натуральные | целые | рациональные | вещественные | p-адические
иррациональные | алгебраические | трансцендентные
комплексные | дуальные | двойные
кватернионы | числа Кэли (октавы) | седенионы | гиперкомплексные