Проблема правильных многоугольников

Теорема Гаусса — Ванцеля утверждает, что правильный n-угольник возможно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда $n=2^k\cdot p_1\cdots p_m$, где $p_i\,\!$ — различные простые числа Ферма. Это условие также эквивалентно тому, что значение функции Эйлера $\varphi(n)$ является степенью 2-ки.

История

Античным геометрам были известны способы построения правильных n-угольников для n = 2^k, 3·2^k, 5·2^k и 3·5·2^k.

Гаусс показал в 1796 возможность построения правильных n-угольников при $n=2^k\cdot p_1\cdots p_m$, где $p_i\,\!$ — различные простые числа Ферма. В 1836 Ванцель доказал, что других правильных многоугольников, которые можно построить циркулем и линейкой, не существует.

Конкретные реализации построения весьма трудоёмки.

• Построение правильного 17-угольника было непосредственно осуществлено самим Гауссом, но впервые опубликовано К. Ф. фон Пфейдерером в 1802 г.
• Правильный 257-угольник построил Ф. Ю. Ришело в 1832 г.
• В библиотеке Гёттингенского университета хранится рукопись, являющаяся итогом 10-летней работы О. Гермеса, которая содержит метод построения правильного 65537-угольника.
  • По этому поводу Литлвуд пошутил: «Один навязчивый аспирант достал своего руководителя, и тот сказал ему: — Идите и разработайте способ построения правильного 65537-угольника! Аспирант ушёл и вернулся только через двадцать лет».

Правильные многоугольники
Треугольник | Четырёхугольник | Пятиугольник | Шестиугольник | Семиугольник | Восьмиугольник | Девятиугольник | Семнадцатиугольник | 257-угольник | 65537-угольник
(См. также: Многоугольник, Теорема Гаусса — Ванцеля)