Проблема уравнений 5-й и высших степеней

Теорема Абеля — Руффини утверждает, что общее уравнение степени n при $n \ge 5$ неразрешимо в радикалах.

Подробности

Теория Галуа описывает группу перестановок корней многочленов. Современное доказательство теоремы состоит из доказательства двух фактов.

• При степени n многочлена больше или равной пятой, группой Галуа многочлена может являться группа перестановок S_n.
• При $n \geq 5$ группа перестановок S_n не является разрешимой.

Легко видеть, что значительная часть доказательства «спрятана» в теорию Галуа.

Теорема Абеля — Руффини не заявляет о том, что общее уравнение n-ной степени при $n \ge 5$ не имеет решения. Если мы допускаем комплексные решения, то основная теорема алгебры гарантирует наличие решений. Суть теоремы Абеля — Руфини сводится к тому, что для произвольных уравнений степени больше пятой невозможно указать закрытую формулу для решений, то есть формулу, содержащую только арифметические операции и корни произвольной степени. Решения таких уравнений можно получить с любой желаемой точностью используя численные методы, например метод Ньютона. Кроме того, для некоторых уравнений высших степеней существуют закрытые формулы, однако они не действительны для всех уравнений данной степени. Например, уравнение x⁵ − 5x⁴ − 10x³ − 10x² − 5x − 1 = 0 имеет корень $x=1+\sqrt[5]{2}+\sqrt[5]{4}+\sqrt[5]{8}+\sqrt[5]{16}$.

Закрытые формулы для степеней меньше пятой

Для уравнений со степенью меньше, чем пятая, можно указать закрытую формулу решения. Это можно рассматривать как «вторую часть» или как «обратную» теорему Абеля — Руффини. Хотя это утверждение не следует из теоремы Абеля — Руффини, оно верно: см. формулы Кардано и Феррари.

История

Первое доказательство теоремы было опубликовано в 1799 Руффини. В доказательстве было несколько неточностей. В 1824 году полное доказательство было опубликовано Абелем. Немногим позже развившаяся теория Галуа позволила сформулировать современное изложение доказательства.

Разрешимые типы уравнений

Хотя теорема утверждает, что уравнения не имеют общей формулы для решения, некоторые типы уравнений высоких степеней допускают точные решения. Среди них:

• Однородное уравнение
• Возвратное уравнение

См. также

• Паоло Руффини
• Нильс Абель
• Эварист Галуа
• Алгебра
• Теория Галуа
• Группа перестановок
• Корень Бринга
• Резольвента алгебраического уравнения

Литература

• Edgar Dehn. Algebraic Equations: An Introduction to the Theories of Lagrange and Galois. Columbia University Press, 1930. ISBN 0-486-43900-3.
• John B. Fraleigh. A First Course in Abstract Algebra. Fifth Edition. Addison-Wesley, 1994. ISBN 0-201-59291-6.
• Ian Stewart. Galois Theory. Chapman and Hall, 1973. ISBN 0-412-10800-3.
• Siegfried Bosch, Algebra. 6. Auflage. Springer, 2006. ISBN 3-540-29880-0, ISBN 978-3-540-29880-9.
• Алексеев В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях. МЦНМО, 2001. ISBN 5-900916-86-3.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Abel's Impossibility Theorem на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)
• Weisstein, Eric W. Galois's Theorem на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)
• David Terr & Eric W. Weisstein Galois Group на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)
• Weisstein, Eric W. Solvable Group на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)