Пространство Шварцшильда

Общая теория относительности

$G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}\,$

Математическая формулировка ОТО Космология Фундаментальные идеи Специальная теория относительности Пространство-время Принцип эквивалентности Мировая линия · Псевдориманова геометрия Явления Задача двух тел в ОТО · Гравитационное линзирование · Гравитационные волны Увлечение инерциальных систем отсчёта · Расхождение геодезических Горизонт событий · Гравитационная сингулярность Чёрная дыра Уравнения Линеаризованная ОТО Параметризованный постньютоновский формализм Уравнения Эйнштейна Развитие теории Теории типа Калуцы — Клейна Квантовая гравитация Теории гравитации Точные решения ОТО Шварцшильда Райсснера — Нордстрёма · Керра Керра — Ньюмена · Решение Гёделя Казнера · Модель Милна · Фридмана — Леметра — Робертсона — Уолкера Известные учёные Эйнштейн · Минковский · Шварцшильд · Леметр · Эддингтон · Фридман · Робертсон · Керр · Чандрасекар · Хокинг и другие…

Метрика Шварцшильда — это (единственное в силу теоремы Биркхофа) сферически симметричное решение уравнений Эйнштейна в пустом пространстве. В частности, она описывает гравитационное поле шварцшильдовской (невращающейся, незаряженной) чёрной дыры и гравитационное поле снаружи от сферически симметричного массивного тела.

Вид метрики

В так называемых Шварцшильдовских координатах $(t,\;r,\;\theta,\;\varphi)$, из которых 3 последних аналогичны сферическим, метрический тензор имеет вид

$g = \begin{bmatrix} \left(1-\displaystyle\frac{r_g}{r} \right) & 0 & 0 & 0\\ 0 & -\left(1-\displaystyle\frac{r_g}{r}\right)^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -r^2 \sin^2 \theta \end{bmatrix}.$

Интервал в этой метрике записывается как

$ds^{2} = \left(1-\frac{r_g}{r}\right) c^2 dt^2 - \frac{dr^2}{\left(1-\displaystyle\frac{r_g}{r}\right)} - r^2 \left( \sin^2\,\theta d\varphi^2 + d\theta^2 \right),$

где $r_g = \frac{2Gm}{c^2}$ — так называемый гравитационный радиус.

Координата r не является длиной радиус-вектора, а вводится так, чтобы площадь сферы $t=\mathrm{const},\; r=r_0$ в данной метрике была равна $4\pi r_0^2$. При этом «расстояние» между двумя событиями с разными r (но одинаковыми остальными координатами) даётся интегралом

$\int\limits_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{r_g}{r}}}>r_2-r_1,\qquad r_2,\;r_1>r_g.$

При $M\to 0$ или $r\to\infty$ метрика Шварцшильда стремится (покомпонентно) к метрике Минковского в сферических координатах, так что пространство-время вдали от массивного тела оказывается приблизительно плоским. Так как $g_{0 0}\leqslant 1$ при r > r_g и g₀₀ монотонно возрастает с ростом r, то собственное время в точках вблизи тела течёт медленнее, чем вдалеке от него, то есть происходит своеобразное замедление времени массивными телами.

Дифференциальные характеристики

Обозначим

$g_{0 0}=e^\nu,\quad g_{1 1}=-e^\lambda.$

Тогда не равные нулю независимые компоненты символов Кристоффеля имеют вид

$\Gamma^1_{1 1}=\frac{\lambda^\prime_r}{2},\quad\Gamma^0_{1 0}=\frac{\nu^\prime_r}{2},\quad\Gamma^2_{3 3} = -\sin\theta\cos\theta,$

$\Gamma^0_{1 1}=\frac{\lambda^\prime_t}{2}e^{\lambda-\nu},\quad\Gamma^1_{2 2}=-re^{-\lambda},\quad\Gamma^1_{0 0}=\frac{\nu^\prime_r}{2}e^{\nu-\lambda},$

$\Gamma^2_{1 2}=\Gamma^3_{1 3}=\frac{1}{r},\quad\Gamma^3_{2 3}=\operatorname{ctg}\,\theta,\quad\Gamma^0_{0 0}=\frac{\nu^\prime_t}{2},$

$\Gamma^1_{1 0}=\frac{\lambda^\prime_t}{2},\quad\Gamma^1_{3 3}=-r\sin^2\theta\,e^{-\lambda}.$

Инварианты тензора кривизны равны

$I_1=\left(\frac{r_g}{2r^3}\right)^2,\quad I_2=\left(\frac{r_g}{2r^3}\right)^3.$

Тензор кривизны относится к типу $\mathbf{D}$ по Петрову.

Дефект массы

Если имеется сферически симметричное распределение материи «радиуса» (с точки зрения координат) a, то полная масса тела может быть выражена через его тензор энергии-импульса по формуле

$m =\frac{4\pi}{c^2}\int\limits_0^a T_0^0 r^2\,dr.$

В частности, для статического распределения вещества $T_0^0=\varepsilon$, где $\varepsilon$ — плотность энергии в пространстве. Учитывая, что объём шарового слоя в выбранных нами координатах равен

$dV=4\pi r^2\sqrt{g_{1 1}}\,dr>4\pi r^2\,dr,$

получим, что

$m=\int\limits_0^a\frac{\varepsilon}{c^2}4\pi r^2\,dr<\int\limits_V\frac{\varepsilon}{c^2}\,dV.$

Это различие выражает собой гравитационный дефект массы тела. Можно сказать, что часть полной энергии системы содержится в энергии гравитационного поля, хотя локализовать эту энергию в пространстве невозможно.

Особенность в метрике

На первый взгляд, метрика содержит две особенности: при r = 0 и при r = r_g. Действительно, в Шварцшильдовских координатах частице, падающей на тело, потребуется бесконечно большое время для достижения поверхности r = r_g, однако в сопутствующей системе отсчёта видно, что, с точки зрения падающего наблюдателя, никакой особенности пространства-времени на данной поверхности нет, а сама поверхность будет достигнута за конечное собственное время.

Реальная особенность метрики Шварцшильда наблюдается лишь при $r\to 0$, где стремятся к бесконечности скалярные инварианты тензора кривизны. Эта особенность (сингулярность) не может быть устранена сменой системы координат.

Горизонт событий

Поверхность r = r_g называется горизонтом событий. При более удачном выборе координат можно показать, что никакие сигналы не могут выйти из чёрной дыры через горизонт событий. В этом смысле не удивительно, что поле вне Шварцшильдовской чёрной дыры зависит лишь от одного параметра — полной массы тела.

Орбитальное движение

Литература

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7

См. также

• Черная дыра
• Пространство Минковского

Ссылки