Противоположный элемент

Обра́тный элеме́нт — одно из понятий абстрактной алгебры.

Определения

• Пусть $(M,\cdot)$ — множество M с определённой на нём бинарной операцией $\cdot$. Пусть $x \in M$ — произвольный элемент множества M. Если справедливо равенство
      $x \cdot y = e,$
  где $y \in M$, а $e \in M$ - нейтральный элемент относительно операции $\cdot$, то y называется обра́тным спра́ва к x.
• Аналогичным образом, если выполнено
      $y \cdot x = e,$
  то y называется обра́тным сле́ва к x.
• Элемент $y\in M$, являющийся обратным к x и справа, и слева, то есть такой, что
      $x \cdot y = y \cdot x = e,$
  называется просто обратным к x и обозначается x ^{− 1}.

Замечания

• Приведённое выше определение дано в мультипликативной нотации. Если используется аддитивная нотация (M, + ), то обратный элемент называется противополо́жным и обозначается - x.
• Вообще говоря, один и тот же элемент $x\in M$ может иметь несколько обратных слева элементов и несколько обратных справа элементов, и последние не обязаны пересекаться.

Свойства

• Пусть операция $\cdot$ ассоциативна. Тогда если для элемента $x\in M$ определены обратный слева и обратный справа элементы, то они равны и единственны.

Примеры

Множество	Бинарная операция	Обратный элемент
Вещественные числа	+ (сложение)	- x
Вещественные числа не равные нулю	$\cdot$ (умножение)	1 / x
Функции вида $f:M\to M$	$\circ$ (композиция функций)	f − 1 (обратная функция)

См. также

• Группа.