- Последовательность
-
Последовательность — это набор элементов некоторого множества:
- для каждого натурального числа можно указать элемент данного множества;
- это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;
- для любого элемента (члена) последовательности можно указать следующий за ним элемент последовательности.
Таким образом, последовательность оказывается результатом последовательного выбора элементов заданного множества. И, если любой набор элементов является конечным, и говорят о выборке конечного объёма, то последовательность оказывается выборкой бесконечного объёма.
Содержание
Последовательность по своей природе — отображение, поэтому его не следует смешивать с множеством, которое «пробегает» последовательность.
В математике рассматривается множество различных последовательностей:
- числовые последовательности;
- временные ряды как числовой, так и не числовой природы;
- последовательности элементов метрического пространства
- последовательности элементов функционального пространства
- последовательности состояний систем управления и автоматов.
Целью изучения всевозможных последовательностей является поиск закономерностей, прогноз будущих состояний и генерация последовательностей.
Определение
Пусть задано некоторое множество элементов произвольной природы. | Всякое отображение множества натуральных чисел в заданное множество называется последовательностью (элементов множества ).
Образ натурального числа , а именно, элемент , называется -ым членом или элементом последовательности, а порядковый номер члена последовательности — её индексом.
Связанные определения
- Подмножество множества , которое образовано элементами последовательности, называется носителем последовательности: пока индекс пробегает множество натуральных чисел, точка, «изображающая» последовательность, «перемещается» по носителю.
- Если взять возрастающую последовательность натуральных чисел, то её можно рассматривать как последовательность индексов некоторой последовательности: если взять элементы исходной последовательности с соответствующими индексами (взятыми из возрастающей последовательности натуральных чисел), то можно снова получить последовательность, которая называется подпоследовательностью заданной последовательности.
Комментарии
- Не следует смешивать носитель последовательности и саму последовательность! Например, точка как одноточечное подмножество является носителем стационарной последовательности вида .
- Любое отображение множества в себя также является последовательностью.
- В математическом анализе важным понятием является предел числовой последовательности.
Обозначения
Последовательности вида
принято компактно записывать при помощи круглых скобок:
- или
иногда используются фигурные скобки:
Допуская некоторую вольность речи, можно рассматривать и конечные последовательности вида
- ,
которые представляют собой образ начального отрезка последовательности натуральных чисел.
См. также
Для улучшения этой статьи по математике желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
- Добавить иллюстрации.
Категория:- Ряды и последовательности
Wikimedia Foundation. 2010.