- Фактор-группа
-
Пусть G — группа, и H — её нормальная подгруппа, то есть для любого элемента его правый и левый классы смежности совпадают:
- aH = Ha
Тогда на классах смежности H в G можно ввести умножение:
- (aH)(bH) = abH
Легко проверить что это умножение не зависит от выбора элементов в классах смежности, то есть если aH = a'H и bH = b'H, то abH = a'b'H. Оно определяет структуру группы на множестве классов смежности, а полученная группа называется факторгруппой G по H.
Факторгруппа обозначается G / H.
Содержание
Свойства
- Теорема о гомоморфизме: Для любого гомоморфизма
-
- ,
- то есть фактор группы G по ядру изоморфен её образу в K.
- Отображение задаёт естественный гомоморфизм .
- Порядок G / H равен индексу подгруппы [G:H]. В случае конечной группы G он равен | G | / | H | .
- Если G абелева, нильпотентна, разрешима, циклическая или конечнопорождённая, то и G / H будет обладать тем же свойством.
- G / G изоморфна тривиальной группе ({e}), G / e изоморфна G.
Примеры
Пусть , , тогда G / H изоморфна .
Пусть (группа невырожденных верхнетреугольных матриц), (группа верхних унитреугольных матриц), тогда G / H изоморфна группе диагональных матриц.
См. также
Для других алгебраических структур, а также множеств, также определены понятия факторов: фактормножество, факторкольцо, факторалгебра, факторполе.
Ссылки
- Винберг Э. Б. Курс алгебры, — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7.
Wikimedia Foundation. 2010.