- Функции Эрмита
-
Фу́нкции параболи́ческого цили́ндра — общее название для специальных функций, являющихся решениями дифференциальных уравнений, получающихся при применении метода разделения переменных для уравнений математической физики, таких как уравнение Лапласа, уравнение Пуассона, уравнение Гельмгольца и др. в системе координат параболического цилиндра.
В общем случае функции параболического цилиндра — решения следующего уравнения
При выполнении линейной замены переменной в этом уравнении, получается уравнение:
решения которого называются функциями Вебера и обозначаются
Функции являются решениями уравнения Вебера, причем при нецелом функции линейно независимы. Для всех функции также линейно независимы.
Однако на практике чаще пользуются другими функциями параболического цилиндра — функциями Эрмита, являющихся решениями уравнения Эрмита, которое получается из заменой
Функции Эрмита обозначаются Общее решение уравнения
где — вырожденная гипергеометрическая функция.
При целом неотрицательном функция Эрмита совпадает с полиномом Эрмита. При целом отрицательном функция Эрмита выражается в замкнутом виде через функцию ошибок.
Содержание
Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования
Интегральные представления
Асимптотическое поведение
В начале координат
На бесконечности
Литература
- Уиттекер, Ватсон. Курс современного анализа, 1963, том 2
- Бейтмен, Эрдейи Вісшие трансцендентніе функции, том 2
- H.F. Weber, "Ueber die Integration der partiellen Differentialgleichung " Math. Ann. , 1 (1869) pp. 1–36
См. также
Ссылки
- Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables 1972, Dover: New York. chapter 19.
- Weisstein, Eric W. Parabolic Cylinder Function. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
- Weisstein, Eric W. Parabolic Cylinder Differential Equation. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
-
Wikimedia Foundation. 2010.