- Функция вероятности
-
Фу́нкция вероя́тности в теории вероятностей — наиболее часто используемый способ охарактеризовать дискретное распределение.
Содержание
Определения
Функция произвольной вероятности
Пусть является вероятностной мерой на , то есть определено вероятностное пространство , где обозначает борелевскую σ-алгебру на .
Определение 1. Вероятностная мера называется дискретной, если её носитель не более, чем счётен, то есть существует не более, чем счётное подмножество такое, что .
Определение 2. Функция , определённая следующим образом:
называется функцией вероятности .
Функция вероятности случайной величины
Определение 3. Пусть — случайная величина (случайный вектор). Тогда она индуцирует вероятностную меру на , называемую распределением. Случайная величина называется дискретной, если её распределение дискретно. Функция вероятности случайной величины имеет вид:
- .
или короче
- ,
где .
Свойства функции вероятности
Из свойств вероятности очевидно следует:
- .
- .
- Функция распределения случайной величины может быть выражена через её функцию вероятности:
- .
- Если , то
- ,
- ,
где — функция вероятности вектора , а — функция вероятности величины . Это свойство очевидно обобщается для случайных векторов размерности .
- Математическое ожидание функции от дискретной величины, когда оно существует, имеет вид:
- ,
при условии что ряд в правой части абсолютно сходится.
Примеры дискретных распределений
- Распределение Бернулли;
- Биномиальное распределение;
- Геометрическое распределение;
- Гипергеометрическое распределение;
- Логарифмическое распределение;
- Отрицательное биномиальное распределение;
- Распределение Пуассона;
- Дискретное равномерное распределение;
- Мультиномиальное распределение.
См. также
Категория:- Теория вероятностей
Wikimedia Foundation. 2010.