Дигамма-функция

В математике дига́мма-фу́нкция ${\textstyle{\psi(x)}}$ определяется как логарифмическая производная гамма-функции:

$\psi(x) = \frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)} = \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}.$

Она является полигамма-функцией первого порядка, а полигамма-функции высших порядков (тригамма-функция и т.д.) получаются из неё дифференцированием.

Свойства

• Дигамма-функция связана с гармоническими числами соотношением

  $\displaystyle{\psi(n) = H_{n-1} - \gamma},$

где ${\textstyle{H_n}}$ — n-е гармоническое число, а ${\textstyle{\gamma}}$ — постоянная Эйлера — Маскерони.

• Формула дополнения

  $\displaystyle{\psi(1-x) - \psi(x) = \pi \cot(\pi x)}$

• Рекурентное соотношение

  $\psi(x+1) = \psi(x) + \frac{1}{x}$

• Разложение в бесконечную сумму

  $\psi(x) = \ln(x) - \frac{1}{2x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(1-2n)}{x^{2n}}$

где $\zeta(x)$ — дзета-функция Римана.

• Логарифмическое разложение

  $\psi(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k}\ln(x+k)$

• Теорема Гаусса

  $\frac{\Gamma'(p/q)}{\Gamma(p/q)} = -\gamma - \ln(2q) - \frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{\pi p}{q}\right) + 2 \sum_{0<n<q/2}\cos\left(\frac{2\pi p n}{q}\right)\ln\left(\sin\left(\frac{\pi n}{q}\right)\right)$

при целых $p, q$ с условием $0 < p < q$.

• Для всех $z \neq -1, -2, -3, \ldots$ справедливо разложения в ряд:

  $\psi(z+1)= -\gamma +\sum_{n=1}^\infty \frac{z}{n(n+z)}.$

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Digamma Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Свойства дигамма-функции (англ.)