Теорема Штейнера — Лемуса

Теорема Штейнера — Лемуса

$|AE|=|BD|,\,\alpha=\beta,\, \gamma=\delta$

Теорема Штейнера — Лемуса

Если в треугольнике равны 2 биссектрисы, то этот треугольник является равнобедренным.

это с виду простое утверждение не имеет простого классического доказательства, хотя алгебраическое доказательство можно легко провести, используя формулу о длине биссектрисы $l_c=\frac{\sqrt{4abp(p-c)}}{a+b}$.

История доказательства

Впервые доказательство было дано в работах немецких геометров Штейнера и Лемуса. С тех пор это утверждение носит их имя.

В 1963 году журнал American Mathematical Monthly объявил конкурс на лучшее доказательство теоремы. Было прислано много доказательств, среди которых обнаружились интересные ранее неизвестные. Одно из лучших, по мнению редакции, приведено в ^[1]. Оно строится от противного, далее рассматривая окружность, проходящую через 4 точки.

В советской литературе распространено доказательство, основанное на следующем признаке равенства треугольников: если сторона, противолежащий этой стороне угол и биссектриса этого угла одного треугольника равны соответствующим элементам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Вариации и обобщения

• Аналогичная теорема для биссектрис внешних углов неверна. Один из контрпримеров — треугольник Ботемы — с углами 12°, 132° и 36°. В нём биссектрисы внешних к первым двум углов равны стороне, соединяющей их вершины.

Литература

1. ↑ Г. С. М. Коксетер (англ.), С. П. Грейтцер. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).

• Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 335-338. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3
• Понарин Я.П. Элементарная геометрия. В 2 тт.. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 31. — ISBN 5-94057-170-0