Формула Бете — Блоха

Формула Бете — Блоха

Формула Бете — Блоха — формула для удельной ионизационной потери энергии при прохождении заряженных частиц через вещество. Получена Феликсом Блохом и Хансом Бете. Формула написана в системе СГС.

Для тяжелой заряженной частицы эта формула имеет вид:

$~- \left(\frac{dT}{dx} \right)=\frac{4\pi n_e z^2 e^4}{m_e v^2} \left[\ln\frac{2 m_e v^2}{I}-\ln(1-\beta^2)-\beta^2-\delta-U \right]$,

где $~T$ — кинетическая энергия частицы; $~v$ — скорость частицы; $~x$ — путь, пройденный заряженной частицей в веществе; $~m_e$ — масса электрона; $~I=(13{,}5 Z)\cdot 1{,}6\cdot 10^{-12}$ — средний ионизационный потенциал атомов поглощающего вещества (эрг); $~n_e$ — плотность электронов в среде; $~e$ — заряд электрона; $~z$ — заряд частицы; $\beta=\frac{v}{c}$; $~\delta$,$~U$ — члены, учитывающие эффект плотности и связанность K- и L-электронов. Основной результат, который вытекает из этой формулы, заключается в том, что удельная потеря энергии заряженной частицы на ионизацию пропорциональна квадрату заряда частицы, концентрации электронов в среде, некоторой функции от скорости $~\varphi(v)\sim \frac{1}{v^2}$ и не зависит от массы частицы $~M$:

$\frac{dT}{dx}\sim z^2 n_e \varphi(v)$.

Формула для вычисления ионизационных потерь электронов выглядит несколько иначе:

$~- \left( \frac{dT}{dx} \right)^{(e)}=\frac{2\pi e^4 n_e}{m_e v^2} \left[ \ln\frac{m_e v^2 T_e}{2 I^2 {(1-\beta^2)}}-\ln2 ({2\sqrt{1-\beta^2}}-1+\beta^2)+1-\beta^2+\frac{1}{8}(1-\sqrt{1-\beta^2}~)^2-\delta \right]$,

где $~T_e$ — релятивистская кинетическая энергия электрона; $~n_e$ — плотность электронов в среде; $~\delta$ — поправка на эффект плотности. Различие объясняется тем, что при рассмотрении элементарного процесса взаимодействия двух электронов надо учитывать отклонение обеих частиц, а также квантовомеханический эффект обмена, обусловленный их тождественностью. Для электронов высокой энергии, как и для тяжелых заряженных частиц, надо учитывать эффект плотности, приводящий к уменьшению ионизационных потерь. Однако при очень больших энергиях электроны начинают эффективно терять энергию из-за все большего и большего возрастания роли радиационного торможения. При энергии электрона, превосходящей критическую, эти потери преобладают над ионизационными.