- Гауссов интеграл
-
Не следует путать с интегралом Пуассона, выражающим гармоническую функцию внутри шара (круга) через ее значения на его границе.
Га́уссов интегра́л (также интеграл Э́йлера — Пуассо́на или интеграл Пуассона[1]) — интеграл от гауссовой функции:
Доказательство 1 Посчитаем Возьмём функцию Она ограничена сверху единицей, то есть, полагая , получим Ограничим в первом неравенстве изменение промежутком , а во втором - промежутком , возведём оба неравенства в степень , так как неравенства с положительными членами можно возводить в любую натуральную степень почленно. Получим:
- и
Интегрируя неравенства в указанных пределах и сведя их в одно, получим
Но так как при замене получим
получим соответственно
Замена пределов интегрирования получается из-за того, что при изменении переменной меняется в пределах от 0 до
И заменяя , получим
Здесь с пределами интегрирования аналогично: при изменении переменной t меняется от 0 до
Последние два интеграла можно получить дважды интегрируя их по частям. Таким образом искомое К может быть заключено в интервале
Для нахождения К возведём всё неравенство в квадрат и преобразуем. В результате всё сильно упрощается до
По формуле Валлиса можно видеть, что и левое, и правое выражение стремятся к при
Следовательно,
Действуя аналогично с , получаем, что
Доказательство 2 Гауссов интеграл может быть представлен как . Рассмотрим квадрат этого интеграла . Вводя двумерные декартовы координаты, переходя от них к полярным координатам , , и интегрируя по (от 0 до ), получаем: Следовательно, .
Гауссовы интегралы от масштабированной гауссовой функции
и многомерные гауссовы интегралы
элементарно сводятся к обычному одномерному, описанному первым (здесь и ниже везде подразумевается интегрирование по всему пространству).
То же относится к многомерным интегралам вида
где x — вектор, а M — симметричная матрица с отрицательными собственными числами, так как такие интегралы сводятся к предыдущему, если сделать преобразование координат, диагонализующее матрицу М.
Практическое применение (например, для вычисления Фурье-преобразование от гауссовой функции) часто находит следующее соотношение
История
Впервые одномерный гауссов интеграл вычислен в 1729 году Эйлером, затем Пуассон нашел простой приём его вычисления[2]. В связи с этим он получил название интеграла Эйлера — Пуассона.
Примечания
- ↑ Пуассона интеграл БСЭ
- ↑ См. там же.
Категория:- Интегралы
Wikimedia Foundation. 2010.