Квазитрохоидальная траектория

Квазитрохоида́льная траекто́рия — сложная траектория какого-либо объекта имеющего поступательные и вращательные составляющие движения. Подобная траектория именуется квазитрохоидальной, поскольку на малом участке её возможно приблизить трохоидальной кривой.

Примером квазитрохоидальной траектории является траектория летательного аппарата перемещающегося в пространстве и вращающегося вокруг своей оси, траектория заряженной частицы в неоднородном и нестационарном электромагнитном поле, траектория вихревого образования в атмосфере и в жидкости, и т. п.

Анализ и сопровождение

В случае жесткого тела, ограничиваются рассмотрением траектории движения лишь одной, принадлежащей ему, точки принятой за реперную. При рассмотрении движения слабо связанных, но имеющих однообразное движение объектов, к примеру, атмосферных завихренностей, рассматривают совокупность реперных точек, наиболее приближающих заданный процесс, и разбитых на группы, например, по степени удаленности от центра вращения. Основная задача при сопровождении рассматриваемых объектов заключается в оценке параметров траектории для выявления их внутренних свойств, и прогнозировании дальнейшего движения.

Получение

Обычно траектории получают проецированием трехмерных координат на плоскость. Двумерные координаты объекта возможно получить двумя способами. При первом способе, входные двумерные координаты привязываются к временным отсчетам, обычно эквидистантным, что существенно упрощает последующие вычисления. Одной из принципиальных особенностей является возможное отсутствие каких-либо измеренных координат в определенные моменты времени, из-за нестабильности наблюдения или действия помех. Примером являются отсчеты координат, полученные РЛС либо оптико-электронной системой выдающей видеоизображение. Во втором способе, используется уже имеющаяся совокупность двумерных координат за какое-то определенное обычно достаточно большое время, в случаях, когда отсутствует связь измеренных координат с моментами времени измерений.

Модель

В параметрическом виде модель измеренного двумерного сигнала (квазитрохоидальной траектории) представляется в виде уравнений:

$\left\{\begin{matrix} x(t)=x_c(t)+R(t)\cos(\theta(t))+n_x(t)\\ y(t)=y_c(t)+R(t)\sin(\theta(t))+n_y(t) \end{matrix}\right.$ (1)

где: $x_c(t), y_c(t)$ — координаты поступательной составляющей (центра вращения); $R(t)$ — радиус вращения; $\theta(t)$ — фаза вращения; $d\theta/dt=\omega(t)$ — угловая частота вращения; $n_x(t), n_y(t)$ — шумы измерения и действующие помехи; и т. д. Нестационарные параметры $x_c(t), y_c(t), R(t), \theta(t)$ сигнала (1) в общем случае могут изменяться совершенно произвольно.

Для упрощения используется комплексная ф орма записи параметрических уравнений (1). Полагая $z(t)=x(t)+iy(t)$, можно записать:

$z(t)=z_c(t)+R(t)\exp \left( i\theta(t) \right)+n_z(t)$ (2)

В простейшем случае, при прямолинейном движении центра вращения, при постоянной частоте вращения и отсутствии шумов, будем иметь параметрические уравнения классической двумерной кривой — трохоиды:

$\left\{\begin{matrix} x(t)=x_0+v_xt+R\cos(\omega t+\theta_0)\\ y(t)=y_0+v_yt+R\sin(\omega t+\theta_0) \end{matrix}\right.$ (3)

где: $x_0, y_0$ — координаты начального положения центра вращения; $v_x, v_y$ — проекции скорости центра вращения; $\omega$ — циклическая частота вращения; $\theta_0$ — начальная фаза вращения.

Для более сложного случая используют следующую модель, имеющую одну составляющую вращения:

$z(t)= \sum_{p=0}^{P-1}c_pt^p + \left( \sum_{q=0}^{Q-1}R_qt^q \right) \exp \left(i \sum_{m=0}^{M-1}\theta_mt^m \right)$ (4)

В общем случае, вращательных составляющих может быть произвольное количество. Применительно к реальным объектам подлежащих распознаванию и сопровождению, например ЛА, обычно бывает достаточно всего двух гармонических членов. Первый отвечает за основное вращение по углу крена, тогда как второй отражает наличие какой-либо дополнительной составляющей второго порядка малости. Подобной гармоникой может быть описано, к примеру, явление флаттера — высокочастотного колебания вращающейся консоли стабилизатора или крыла ЛА. В этом случае одну из моделей можно представить как:

$z(t)= \sum_{p=0}^{P-1}c_pt^p + \sum_{g=0}^{G-1} \left( \left( \sum_{q=0}^{Q-1}R_{qg}t^q \right) \exp\left(i \sum_{m=0}^{M-1}\theta_{mg}t^m \right) \right)$

или

$z(t)= \sum_{p=0}^{P-1} \left( R_p \exp \left( \alpha_p t \right ) \right ) + \sum_{m=0}^{M-1} \exp\left( i \omega_m t + \theta_m \right)$

где: $G$ — количество вращательных составляющих;

Для слежения за объектами необходимо выделение составляющих параметров траектории, таких как: координаты центра вращения, частоты вращения, текущей фаза вращения, радиуса вращения. По этим параметрам возможно решение задачи распознавания объекта, прогнозирования движения в случае пропадания координат, формирования модельной сглаженной траектории и др. Также, процесс измерения координат подвержен воздействию пассивных и активных помех, в результате действия которых появляются ошибки в измерениях либо отсутствие достоверных измеренных координат.

Литература

1. Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. М.: Изд. Физматлит, 1960
2. Karamov S.V. Modified Prony Method for Tracking Trochoidal trajectories // 8th International conference «Pattern Recognition and Image Analyses: New Information Technologies» Yoshkar-Ola, 2007. — Vol. 1. — P. 310—313.
3. Карамов С. В. Методы идентификации параметров трохоидальной траектории летательного аппарата // VI Международная конференция «Идентификация систем и задачи управления». Труды. -М.: ИПУ РАН, 2007, -С. 293—323.
4. Карамов С. В. Методы сопровождения объектов имеющих квазитрохоидальные траектории // 10-я Международная конференция и выставка «Цифровая обработка сигналов и ее применение» г. Москва, 2008 г. Т.2, 659-662C.

Ссылки

• Циклоидальные кривые