- Неустойчивость Рэлея — Тейлора
-
Неустойчивость Рэлея — Тейлора
Неустойчивость Рэлея — Тейлора — возникает между двумя контактирующими сплошными средами различной плотности, когда более тяжёлая жидкость толкает более лёгкую. Примером такой неустойчивости может служить неустойчивость капли воды на поверхности масла — вода будет пытаться проникнуть сквозь масло.
Основным параметром, определяющим скорость развития этой нестабильности является число Атвуда.
Содержание
Аналитическое описание
Задача о неустойчивости Рэлея — Тейлора имеет аналитическое решение в рамках линейной теории устойчивости.
Пусть два протяжённых плоских горизонтальных слоя жидкости расположены в поле тяжести друг над другом, причём более тяжёлая жидкость 1 находится вверху (на иллюстрации - синий цвет), плотности жидкостей ρ1,ρ2. Верхняя и нижняя границы - твёрдые. Для простоты удобно пользоваться моделью невязкой несжимаемой жидкости, тогда система описывается уравнением Эйлера:
В дальнейшем компоненты скорости определяются как . Вполне очевидно, что равновесное решение () удовлетворяет модели, при этом из уравнения Эйлера для давления получается следующее:
Откуда определяется равновесное распределение давления (известный результат для давления столба жидкости):
- P0 = − ρgz.
Внесём в равновесное состояние малые возмущения. Пусть скорость настолько мала, что можно пренебречь нелинейным слагаемым в уравнении Эйлера, а давление имеет вид P = P0 + P', где P' < < P0. Тогда получим линейную систему уравнений для малых возмущений (далее штрих у давления опущен):
Граничные условия задаются исходя из соображений равенства z-компонент скорости жидкостей 1 и 2 на границе раздела и наличия поверхностного натяжения. На верхней и нижней границах, т.к. жидкость идеальная, работают условия непротекания. Удобно принять координату границы раздела в равновесии за 0. На ней выполняется кинематическое условие
и динамическое условие
Условие непротекания верхней и нижней границ:
где ζ - величина отклонения границы от невозмущённой, σ - коэффициент поверхностного натяжения. Полученная задача для возмущений легко решается.
Положим, что возмущения имеют вид:
где λ - скорость роста (инкремент) возмущения, kx,ky - компоненты волнового вектора возмущения границы.
Из уравнения Эйлера выражается w:
а условие несжимаемости даёт уравнение Лапласа для давления. В итоге, скорость течения из задачи удаётся исключить. Остаётся линейное уравнение:
с граничными условиями:
Решение уравнения Лапласа для давления:
Константы C1,C2 определяются из кинематического условия. Динамическое условие даёт связь между инкрементом и модулем волнового вектора
откуда непосредственно следует выражение для критического волнового числа возмущений (при λ = 0):
- .
Если длина волны больше критической, то возмущения границы будут нарастать.
В предельном случае бесконечно глубоких слоёв (kh > > 1) наибольшая скорость роста возмущений достигается при волновом числе
- .
В тонких слоях (kh < < 1):
- .
В природе
- Ярким известным проявлением неустойчивости Рэлея — Тейлора являются вымеобразные облака.
Литература
- Лабунцов Д.А., Ягов В.В. Механика двухфазных систем. // М.: Изд-во МЭИ, 2000. - с. 143-146.
- Векштейн Г.Е. Физика сплошных сред в задача. // М.: Институт компьютерных исследований, 2002. - с. 109-111.
Ссылки
Wikimedia Foundation. 2010.
Неустойчивость Рэлея-Плато — Неустойчивость Рэлея Плато в физике жидкостей фундаментальное ограничение, которое утверждает, что даже в условиях полной невесомости столб жидкости разрушается, если его длина превышает радиус кривизны поверхности жидкости.[1] Открыто… … Википедия
Неустойчивость Рэлея — Неустойчивость Рэлея Плато в физике жидкостей фундаментальное ограничение, которое утверждает, что даже в условиях полной невесомости столб жидкости разрушается, если его длина превышает радиус кривизны поверхности жидкости.[1]… … Википедия
неустойчивость Рэлея-Тейлора в ионосфере — Частный случай градиенто токовой неустойчивости, обусловленной дрейфом заряженных частиц перпендикулярно гравитационному и геомагнитному полям. [ГОСТ 25645.113 84] Тематики ионосфера земли Обобщающие термины волны и неустойчивости ионосферной… … Справочник технического переводчика
Неустойчивость Кельвина—Гельмгольца — Нестабильность Кельвина Гельмгольца на Сатурне, образованная взаимодействием двух слоёв атмосферы … Википедия
Неустойчивость Кельвина — Нестабильность Кельвина Гельмгольца на Сатурне, образованная взаимодействием двух слоёв атмосферы … Википедия
Неустойчивость Рихтмайера — Мешкова — Неустойчивость Рихтмайера Мешкова возникает между двумя контактирующими сплошными средами различной плотности, когда поверхность раздела испытывает ускорение, например при прохождении ударной волны. Развитие нестабильности начинается… … Википедия
Неустойчивость Рихтмайера — Неустойчивость Рихтмайера Мешкова возникает между двумя контактирующими сплошными средами различной плотности, когда поверхность раздела испытывает ускорение, например при прохождении ударной волны. Развитие нестабильности начинается… … Википедия
Гравитационная неустойчивость — (неустойчивость Джинса) нарастание со временем пространственных флуктуаций скорости и плотности вещества под действием сил тяготения (гравитационных возмущений). Гравитационная неустойчивость ведёт к образованию неоднородностей (сгустков) в … Википедия
Гидродинамическая устойчивость — Развитие неустойчивости Кельвина Гельмгольца в атмосфере Сатурна Теория гидродинамической устойчивости раздел гидродинамики и теории устойчивости, изучающий услов … Википедия
МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА — (сокращенно МГД), раздел науки, занимающийся взаимодействием электропроводящих потоков с электрическим и магнитным полями. Когда в поперечном магнитном поле движется текучая среда, проводящая электричество, в ней наводятся токи. Эти токи вызывают … Энциклопедия Кольера