Регулярный граф

Регулярный граф — граф, степени всех вершин которого равны, то есть каждая вершина имеет одинаковое количество соседей. Степень регулярности является инвариантом графа и обозначается $r(G)$. Для нерегулярных графов $r(G)$ не определено. Регулярные графы представляют особую сложность для многих алгоритмов.

Регулярный граф с вершинами степени k называется k‑регулярным, или регулярным графом степени k.

Регулярные графы степени не больше двух легко классифицировать: 0-регулярный граф состоит из изолированных вершин (нуль-граф), 1-регулярный — из изолированных рёбер, а 2-регулярный — из разрозненных циклов.

3-регулярный граф известен также как кубический.

Сильно регулярный граф есть регулярный граф, у которого каждая пара смежных вершин имеет одинаковое количество l общих соседей, и каждая пара несмежных вершин имеет одинаковое количество n общих соседей. Наименьшие графы, которые регулярны, но не сильно регулярны — циклический граф и циркулянтный граф на шести вершинах.

Полный граф $K_m$ является сильно регулярным для любого $m$.

Теорема Нэш-Вильямса гласит, что каждый k‑регулярный граф на 2k + 1вершинах имеет гамильтонов цикл.

• 

  0-регулярный граф

• 

  1-регулярный граф

• 

  2-регулярный граф

• 

  3-регулярный граф

Алгебраические свойства

Пусть A есть матрица смежности графа. Тогда граф регулярен тогда и только тогда, когда $\textbf{j}=(1, \dots ,1)$ есть собственный вектор A.^[1] Его собственное число будет постоянной степенью графа. Собственные вектора, соответствующие другим собственным числам, ортогональны $\textbf{j}$, поэтому для собственных векторов $v=(v_1,\dots,v_n)$ мы имеем $\sum_{i=1}^n v_i = 0$.

Регулярный граф степени k связен тогда и только тогда, когда собственное число k имеет единичную кратность.^[1]

Другой критерий регулярности и связности графа: граф связен и регулярен только и только тогда, когда матрица J с $J_{ij}=1$ находится в алгебре смежности графа.^{[источник не указан 1075 дней]}

Пусть G есть k-регулярный граф диаметра D и с собственными числами матрицы смежности $k=\lambda_0 >\lambda_1\geq \dots\geq\lambda_{n-1}$. Если G не двудолен:

$D\leq \frac{\log{(n-1)}}{\log(k/\lambda)}+1$

то

$\lambda=\max_{i>0}\{\mid \lambda_i \mid \}$.^{[источник не указан 1075 дней]}

Генерация

Регулярный граф можно сгенерировать программой GenReg.^[2]

См. также

• Случайный регулярный граф  (англ.)
• Сильно регулярный граф  (англ.)
• Граф Мура  (англ.)
• Клетка

Примечания

1. ↑ ^{1 2} Д. М. Цветкович, М. Дуб и Х. Сачс, "Спектр графов: теория и применение", 3-я редакция, Нью-Йорк: Уайли, 1998.
2. ↑ М. Мерингер, "Теория графов", 1999, 30, 137.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Regular Graph (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Strongly Regular Graph (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• GenReg программа и данные Маркуса Мерингера.
• Nash-Williams, Crispin (1969), "Valency Sequences which force graphs to have Hamiltonian Circuits", «University of Waterloo Research Report», Waterloo, Ontario: University of Waterloo