- Группа Гротендика
-
Группа Гротендика — понятие абстрактной алгебры, имеющее многочисленные приложения, в том числе, в теории представлений, алгебраической геометрии, K-теории. Названа в честь французского математика Александра Гротендика, который ввёл это понятие в середине 1950-х годов.
Пусть — коммутативный моноид, т.е. коммутативная полугруппа с нейтральным элементом. Операцию в назовём сложением. Группа Гротендика моноида (обозначается обычно или ) — это абелева группа, которая является (в определенном смысле) расширением моноида до группы, т.е. допускает операцию не только суммы, но и разности двух элементов.
Явное определение
Рассмотрим декартово произведение , элементами которого являются пары , где . По определению, пары соответствуют разностям , сложение которых задается формулой
Определённое таким образом сложение обладает свойствами ассоциативности и коммутативности (вытекающими из аналогичных свойств моноида ).
Для того, чтобы определить группу Гротендика , нужно ввести на множестве отношение эквивалентности, при котором эквивалентными являются элементы и , для которых выполнено равенство
с некоторым элементом . Выполнение свойств рефлексивности, симметричности и транзитивности проверяется тривиально. В силу данного определения, класс эквивалентности элемента включает в себя элементы при всех . Этот класс называется формальной разностью элементов и и обозначается .
Множество определенных таким образом формальных разностей (классов эквивалентности) с операцией сложения составляет группу Гротендика моноида .
Нейтральный (нулевой) элемент группы — это класс эквивалентности, состоящий из пар вида при всевозможных . Элемент, противоположный к элементу , имеет вид (и в первом, и во втором случае подразумеваются соответствующие классы эквивалентности).
Имеется естественное вложение , которое позволяет считать расширением . Именно, каждому элементу ставится в соответствие формальная разность , т.е. класс элементов при всевозможных .
Ссылки
- Grothendieck group
- Michael Atiyah. K-Theory, (Notes taken by D.W.Anderson, Fall 1964), published in 1967, W.A. Benjamin Inc., New York.
- Jonathan Rosenberg. Algebraic K-Theory and Its Applications, Springer Verlag 1994, ISBN 3-540-94248-3
Категория:- Абстрактная алгебра
Wikimedia Foundation. 2010.