Задача трёх узников

Задача трёх узников — парадокс теории вероятностей, имеющий общую природу с парадоксом Монти Холла. Этот парадокс впервые опубликовал Мартин Гарднер в 1959 году.

Формулировка

Трое заключенных, A, B и С заключены в одиночные камеры и приговорены к смертной казни. Губернатор случайным образом выбирает одного из них и милует его. Стражник, охраняющий заключенных, знает, кто помилован, но не имеет права сказать этого. Заключенный A просит стражника сказать ему имя того (другого) заключенного, кто точно будет казнен: «если B помилован, скажи мне, что казнен будет C. Если помилован C, скажи мне, что казнен будет B. Если они оба будут казнены, а помилован я, подбрось монету, и скажи любое имя».

Стражник говорит заключенному A, что заключенный B будет казнен. Заключенный A рад это слышать, поскольку он считает, что теперь вероятность его выживания стала 1/2, а не 1/3 как была до этого. Заключенный A тайно говорит заключенному С, что B будет казнен. Заключенный С также рад это слышать, поскольку он все ещё полагает, что вероятность выживания заключенного А — 1/3, а его вероятность выживания возросла до 2/3. Как такое может быть?

Решение

Ответ заключается в том, что заключенный A не получил информацию о своей собственной судьбе. Заключенный A до того, как спросить стражника, оценивает свои шансы как 1/3, так же как B и C. Когда стражник говорит, что B будет казнён, это все равно, что вероятность того, что С помилован (вероятность 1/3) или A помилован (вероятность 1/3), и монета, выбиравшая между B и C, выбрала B. (Вероятность — 1/2; в целом вероятность того, что назван B — 1/6, поскольку A помилован). Поэтому, узнав, что B будет казнён, заключённый A оценивает шансы на помилование таким образом: его шансы теперь — 1/3, но теперь, зная, что B точно будет казнен, шансы С на помилование теперь 2/3.

Математическая формулировка

Обозначим $A,B$ и $C$ как события, означающие, что соответствующий заключенный будет помилован, и $b$ событие, означающее, что охранник назовет имя B. Тогда, используя теорему Байеса вероятность помилования заключенного A:

$P(A\mid b) = \frac{P(b\mid A)P(A)}{P(b\mid A)P(A)+P(b\mid B)P(B)+P(b\mid C)P(C)} =$

$=\frac{\tfrac12\times\tfrac13}{\tfrac12\times\tfrac13+0\times\tfrac13+1\times\tfrac13} = \tfrac13.$

Интуитивное решение

Заключенный A имеет шансы на помилование 1/3. Знание того, кто из B и C будет казнен не меняет этого шанса. После того как заключенный А узнает, что B будет казнен, он осознает, что если он сам не помилован, то шанс того, что C будет помилован теперь 2/3.

Материалы для понимания

Так же, как с проблемой Монти Холла, здесь будет полезно посмотреть на эту проблему с разных точек зрения.

Список возможных случаев

Могут возникнуть следующие случаи:

1. A помилован, и стражник объявляет, что B будет казнен: 1/3×1/2=1/6 от всех случаев
2. A помилован, и стражник объявляет, что C будет казнен: 1/3×1/2=1/6 от всех случаев
3. B помилован, и стражник объявляет, что C будет казнен: 1/3 от всех случаев
4. C помилован, и стражник объявляет, что B будет казнен: 1/3 от всех случаев

С оговоркой, что в ситуации когда А помилован(вероятность такой ситуации 1/3) стражник случайно выбирает имя казненного, получается шанс 1/2, что он скажет «B» и 1/2 что он скажет «C». Это означает что вероятности: 1/6 в то время как (1/3 [А действительно помилован] * 1/2 [стражник называет B]), стражник называет B, потому что A помилован, и (1/3 [А действительно помилован] * 1/2 [стражник называет C]) стражник называет C, потому что A помилован. Всего это составляет 1/3 от всех случаев (1/6 + 1/6) когда А помилован.

Теперь ясно, что когда стражник отвечает «Казнен будет B»? на вопрос заключенного А это 1 случай из 4, что происходит в 1/2 от всех случаев, 1/3 — вероятность того, что С помилован. но A все равно будет казнен (случай 4), и только 1/6 — вероятность того, что A помилован (случай 1). Следовательно, шансы С: (1/3)/(1/2)=2/3, шансы A: (1/6)/(1/2)=1/3.

Основной загвоздкой здесь является то, что стражник не может говорить имя того, кто будет помилован. если исключить это условие, исходную задачу можно переформулировать так: заключенный просит стражника сказать ему судьбу одного из двух заключенных B и С, не уточняя, кто будет казнен. В этом случает, стражник подбрасывает монету, чтобы выбрать между B и С,и затем говорит судьбу одного из них. При такой формулировке возможны следующие случаи.

1. A помилован, стражник говорит: B будет казнен (1/6)
2. A помилован, стражник говорит: C будет казнен (1/6)
3. B помилован, стражник говорит: B помилован (1/6)
4. B помилован, стражник говорит: C будет казнен (1/6)
5. C помилован, стражник говорит: B будет казнен (1/6)
6. C помилован, стражник говорит: C помилован (1/6)

Все исходы имеют равную вероятность — 1/6. Итак: стражник в этой ситуации все равно выбирает из 6 случаев, и он все ещё не может раскрыть карты, и сказать кто же помилован. Таким образом, в 1/6 случаев, а именно в случае 3, стражник не может сказать, что B помилован, поэтому он скажет C (что в общем-то будет правдой, ведь если помилован B, заключенные A и C будут казнены). Также и в случае 6, когда помилован C, но стражник, не имеющий права этого говорить, назовет одного из тех кто будет казнен — он назовет заключенному А имя заключенного B. Это делает вероятность случаев 4 и 5 до 1/3, что приводит нас к изначальным результатам.

В чём парадокс?

Люди думают, что вероятность 1/2, потому что они игнорируют суть вопроса который заключенный A задает стражнику. Если бы стражник мог ответить на вопрос «Будет ли заключенный B казнен?», тогда, в случае положительного ответа, вероятность казни А действительно бы уменьшалась с 2/3 до 1/2.

То ограничение, которое есть в оригинальной задаче трех узников, делает вопрос заключенного A бесполезным, ведь со 100 % вероятностью будут казнены два заключенных, то есть, даже если А помилован — ему назовут любое имя, если A приговорен к казни, то, значит, с ним вместе будет казнен ещё один заключенный, его имя и назовут заключенному А.

Получается, заключенный А своим вопросом просто узнает тот факт, что один из заключенных B и С будет казнен, что и так ясно из условий задачи.

См. также

• Дилемма заключенного
• Задача о двух конвертах
• Парадокс Паррондо
• Парадокс Монти Холла

Ссылки

• Frederick Mosteller: Fifty Challenging Problems in Probability. Dover 1987 (reprint), ISBN 0-486-65355-2, p. 28-29 (restricted online versionв Google Books)
• Richard Isaac: Pleasures of Probability. Springer 1995, ISBN 9780387944159, p. 24-27 (restricted online versionв Google Books)