Корректно поставленная задача

Математический термин корректно поставленная задача происходит от определения, данного Жаком Адамаром. Он полагал, что математические модели физических явлений должны иметь следующие свойства

1. Решение существует
2. Решение единственно
3. Решение непрерывно зависит от данных в некоторой разумной топологии.

Примерами типичных корректно поставленных задач являются задача Дирихле для уравнения Лапласа и уравнение диффузии с заданными начальными условиями. Они могут рассматриваться как «естественные» задачи в том смысле, что существуют физические процессы, решающие их. В отличие от них обратная задача для уравнения диффузии — нахождение предыдущего распределения температуры по конечным данным — не является корректно поставленной, потому как решение очень чувствительно к изменениям конечных данных. Задачи, не являющиеся корректно поставленными по Адамару, называются некорректно поставленными. Обратные задачи зачастую некорректно поставленные.

Подобные непрерывные задачи часто приходится дискретизировать, чтобы получить численное решение. Несмотря на то, что с точки зрения функционального анализа такие задачи обычно являются непрерывными, они могут быть подвержены неустойчивости численного решения при вычислениях с конечной точностью или при ошибках в данных. Даже если задача является корректно поставленной, она всё ещё может быть плохо обусловленной, то есть небольшая ошибка в начальных данных может привести к много бо́льшим ошибкам в решениях. Плохо обусловленные задачи отличаются больши́м числом обусловленности.

Все же если задача корректно поставлена, то остается неплохой шанс её численного решения с использованием устойчивого алгоритма. Если она некорректно поставлена, то её сначала нужно переформулировать. Обычно это осуществляется добавлением дополнительных предположений, таких как гладкость решения. Этот процесс известен как регуляризация, а регуляризация Тихонова является наиболее широко используемой для линейных некорректно поставленных задач.

Ссылки

• Hadamard Jacques Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique. — 1902. — P. 49–52.
• McGraw-Hill Dictionary of Scientific and Technical Terms. — 4th. — New York: McGraw-Hill, 1989. — ISBN 0070452709
• Tikhonov A. N. Solutions of Ill-Posed Problems. — New York: Winston, 1977. — ISBN 0470991240