- Ультрафильтр
-
Ультрафильтр на решётке — это максимальный собственный фильтр. Понятие ультрафильтра появилось в общей топологии, где оно используется для обобщения понятия сходимости на пространства с несчётной базой.
Содержание
Определение
Собственный фильтр на решётке является ультрафильтром, если он не содержится ни в одном собственном фильтре.
Набор подмножеств множества называется ультрафильтром на , если
- для любых двух элементов , их пересечение также лежит в
- для любого элемента , все его надмножества лежат в
- для любого подмножества либо , либо
Иначе говоря, если рассмотреть функцию на множествах , заданную как , если , и в противном случае, то является конечно-аддитивной вероятностной мерой на .
Ультрафильтры в булевых алгебрах
Если решётка является булевой алгеброй, то возможна следующая характеризация ультрафильтров: фильтр является ультрафильтром тогда и только тогда, когда для любого элемента либо , либо
Эта характеризация делает ультрафильтры похожими на полные теории.
Примеры
- любой главный фильтр является ультрафильтром
- подмножество алгебры Линденбаума — Тарского полной теории , состоящее из теорем
Свойства
- ультрафильтр на конечном множестве всегда является главным.
- любой ультрафильтр на бесконечном множестве содержит конечный фильтр.
- если — главный ультрафильтр на множестве , то его главный элемент является пересечением всех элементов ультрафильтра.
- если — неглавный ультрафильтр на множестве , то пересечение всех его элементов пусто.
Каждый фильтр содержится в ультрафильтре
Утверждение о том, что каждый фильтр содержится в ультрафильтре не может быть доказано без использования аксиомы выбора. Также это утверждение эквивалентно теореме о булевых простых идеалах.
Важным следствием этой теоремы является существование неглавных ультрафильтров на бесконечных множествах.
Приложения
- Ультрафильтры используются в ряде конструкций теории моделей, а именно для формулировки понятия ультрапроизведения.
- Ультрафильтры также фигурируют в формулировке теоремы Стоуна и в явном построении компактификации Стоуна — Чеха.
- Ультрапредел для метрических пространств — обобщение сходимости по Громову — Хаусдорфу
Топология
Нестандартный анализ
В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 17 октября 2011.Категории:- Теория порядка
- Теория решёток
Wikimedia Foundation. 2010.