Многочлен Лагранжа

Интерполяцио́нный многочле́н Лагра́нжа — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n + 1 пар чисел $(x_0, y_0), (x_1, y_1)\dots ,(x_n, y_n)$, где все x_i различны, существует единственный многочлен L(x) степени не более n, для которого L(x_i) = y_i.

В простейшем случае (n = 1) — это линейный многочлен, график которого — прямая, проходящая через две заданные точки.

Определение

Этот пример показывает интерполяционный многочлен Лагранжа для четырёх точек (-9,5), (-4,2), (-1,-2) и (7,9), а также полиномы y_j l_j(x), каждый из которых проходит через одну из выделенных точек, и принимает нулевое значение в остальных x_i

Лагранж предложил способ вычисления таких многочленов:

$L(x) = \sum_{j=0}^n y_j l_j(x)$

где базисные полиномы определяются по формуле:

$l_j(x)=\prod_{i=0, j\neq i}^{n} \frac{x-x_i}{x_j-x_i} = \frac{x-x_0}{x_j-x_0} \cdots \frac{x-x_{j-1}}{x_j-x_{j-1}} \frac{x-x_{j+1}}{x_j-x_{j+1}} \cdots \frac{x-x_{n}}{x_j-x_{n}}\,\!$

l_j(x) обладают следущими свойствами:

• являются многочленами степени n
• l_j(x_j) = 1
• l_j(x_i) = 0 при $i\ne j$

Отсюда следует, что L(x), как линейная комбинация l_j(x), может иметь степень не больше n, и L(x_j) = y_j,

Применения

Полиномы Лагранжа используются для интерполяции, а также для численного интегрирования.

Пусть для функции f(x) известны значения y_j = f(x_j) в некоторых точках. Тогда мы можем интерполировать эту функцию как

$f(x) \approx \sum_{j=0}^n f(x_j) l_j(x)$

В частности,

$\int\limits_a^b f(x)dx \approx \sum_{j=0}^n f(x_j) \int\limits_a^b l_j(x) dx$

Значения интегралов от l_j не зависят от f(x), и их можно вычислить заранее, зная последовательность x_i.

Для случая равномерного распределения по отрезку узлов интерполяции

В указанном случае можно выразить x_i через расстояние между узлами интерполяции h и начальную точку x₀:

$x_j \equiv {x_0 + jh}$,

и, следовательно,

${x_i - x_j} \equiv (i - j)h$.

Подставив эти выражения в формулу базисного полинома и вынеся h за знаки перемножения в числителе и знаменателе, получим

$l_i(x) = { \prod_{j=0,\,j \ne i}^n {(x - x_j) \over (x_i - x_j)}} = {\prod\limits_{j=0,\,j \ne i}^n (x - x_0 - jh) \over h^{n-1} \prod\limits_{j=0,\,j \ne i}^n (i - j)}$

Теперь можно ввести замену переменной

$y = {{x - x_0} \over h}\,\!$

и получить полином от y, который строится с использованием только целочисленной арифметики. Недостатком данного подхода является факториальная сложность числителя и знаменателя, что требует использования алгоритмов с многобайтным представлением чисел.

Внешние ссылки

• Аппроксимация функций.