- Численное решение системы нелинейных уравнений
-
Содержание
Постановка задачи
Рассмотрим методы численного решения уравнений и систем уравнений:
или
Численное решение задачи можно проводить как непосредственно (используя одноимённые методы), так и с применением оптимизационных методов, приведя задачу к соответствующему виду. Последним посвящена статья Система уравнений и экстремальные задачи. Градиентные методы.
Численные методы решения уравнений
Покажем, как можно решить изначальную систему уравнений, не прибегая к оптимизационным методам. В случае, если наша система представляет собой СЛАУ, целесообразно прибегнуть к таким методам, как метод Гаусса, метод Крамера или метод Ричардсона. Однако мы всё же будем исходить из предположения, что вид функции нам неизвестен и воспользуемся одним из итерационных методов численного решения. Среди большого разнообразия таковых выберем один из наиболее известных — метод Ньютона. Этот метод в свою очередь основывается на принципах метода простой итерации. Поэтому сначала будет изложена суть последнего.
Метод простой итерации
В основе метода заложено понятие сжимающего отображения. Определим терминологию:
Говорят, что функция осуществляет сжимающее отображение на , если
Тогда основная теорема будет выглядеть так:
Теорема Банаха (принцип сжимающих отображений).
Если — сжимающее отображение на , то:- у — корень;
- итерационная последовательность сходится к этому корню;
- для очередного члена справедливо .
Поясним смысл параметра . Согласно теореме Лагранжа имеем:
Отсюда следует, что . Таким образом, для сходимости метода достаточно, чтобы
Применительно к СЛАУ
Рассмотрим систему:
Для неё итерационное вычисление будет выглядеть так:
Сходимость методу будет осуществлять
Алгоритм
- Условие преобразуется к виду , где — сжимающая
- Задаётся начальное приближение и точность
- Вычисляется очередная итерация
- Если , то и возврат к шагу 3.
- Иначе и остановка.
Метод Ньютона (метод касательных)
Одномерный случай
Для того, чтобы решить уравнение , пользуясь методом простой итерации, необходимо привести его к виду , где — сжимающее отображение. Чтобы отображение было наиболее эффективно, необходимо, чтобы в точке очередной итерации x * выполнялось . Будем искать решение данного уравнения в виде , тогда:
Воспользуемся тем, что , и получим окончательную формулу для :
С учётом этого сжимающая функция примет вид:
Тогда алгоритм нахождения численного решения уравнения сводится к итерационной процедуре вычисления:
Многомерный случай
Обобщим полученный результат на многомерный случай.
Выбирая некоторое начальное приближение , находят последовательные приближения путем решения систем уравнений:
- ,
где .
Литература
- Амосов А.А., Дубинский Ю. А., Копченова Н.П. Вычислительные методы для инженеров. — М.: Мир, 1998.
- Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.Г. Численные методы. — 8-е изд.. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.
- Волков Е.А. Численные методы. — М.: Физматлит, 2003.
- Коршунов Ю.М., Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики. — М.: Энергоатомиздат, 1972.
См. также
- Метод Крамера
- Система уравнений и экстремальные задачи. Градиентные методы.
- Теорема Хана-Банаха
- Численные методы
- Метод Гаусса
- Метод Жордана-Гаусса
- Метод обратной матрицы
- Метод Ричардсона
- Метод Чебышева
- Численные методы решения систем линейных уравнений
- Метод итераций
- Метод QR-разложения
- Метод сингулярного разложения
- Метод Зейделя
- Метод релаксации
- Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений.
- Метод деления пополам
- Метод хорд
- Метод Ньютона
- Метод секущих
- Комбинированный метод
- Метод итераций
Wikimedia Foundation. 2010.