- Гамма-распределение
-
Гамма-распределение Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение {{{notation}}} Параметры - коэффициент масштаба Носитель Плотность вероятности Функция распределения Математическое ожидание Медиана Мода , когда Дисперсия Коэффициент асимметрии Коэффициент эксцесса Информационная энтропия
Производящая функция моментов , когда Характеристическая функция
Га́мма распределе́ние в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если параметр принимает целое значение, то такое гамма-распределение также называется распределе́нием Эрла́нга.Содержание
Определение
Пусть распределение случайной величины задаётся плотностью вероятности, имеющей вид
- где - гамма-функция Эйлера.
Тогда говорят, что случайная величина имеет гамма-распределение с параметрами и . Пишут .
Замечание. Иногда используют другую параметризацию семейства гамма-распределений. Или вводят третий параметр — сдвиг.
Моменты
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины , имеющей гамма-распределение, имеют вид
- ,
- .
Свойства гамма-распределения
- Если — независимые случайные величины, такие что , то
- .
- Если , и — произвольная константа, то
- .
- Гамма-распределение бесконечно делимо.
Связь с другими распределениями
- Экспоненциальное распределение является частным случаем гамма-распределения:
- .
- Если — независимые экспоненциальные случайные величины, такие что , то
- .
- Распределение хи-квадрат является частным случаем гамма-распределения:
- .
- Согласно центральной предельной теореме, при больших гамма-распределение может быть приближено нормальным распределением:
- при .
- Если — независимые случайные величины, такие что , то
- .
Моделирование гамма-величин
Учитывая свойство масштабирования по параметру θ, указанное выше, достаточно смоделировать гамма-величину для θ = 1. Переход к другим значениям параметра осуществляется простым умножением.
Используя тот факт, что распределение совпадает с экспоненциальным распределением, получаем, что если U — случайная величина, равномерно распределённая на интервале (0, 1], то .
Теперь, используя свойство k-суммирования, обобщим этот результат:
где Ui — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].
Осталось смоделировать гамма-величину для 0 < k < 1 и ещё раз применить свойство k-суммирования. Это является самой сложной частью.
Ниже приведён алгоритм без доказательства. Он является примером выборки с отклонением.
- Положить m равным 1.
- Сгенерировать и — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].
- Если , где , перейти к шагу 4, иначе к шагу 5.
- Положить . Перейти к шагу 6.
- Положить .
- Если , то увеличить m на единицу и вернуться к шагу 2.
- Принять за реализацию .
Подытожим:
где [k] является целой частью k, а ξ сгенерирована по алгоритму, приведённому выше при δ = {k} (дробная часть k); Ui и Vl распределены как указано выше и попарно независимы.
Одномерные Многомерные Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | дискретное равномерное мультиномиальное Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | гиперэкспоненциальное | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | логистическое | Накагами |Парето | полукруговое | непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | variance-gamma многомерное нормальное | копула Категория:- Непрерывные распределения
Wikimedia Foundation. 2010.