Отдел теории чисел Математического института им. В. А. Стеклова РАН

Отдел теории чисел Математического института им. В. А. Стеклова РАН был образован в 1934 году как базовый отдел института первым директором и создателем Математического института им. В. А. Стеклова академиком И. М. Виноградовым.

История отдела

Заведующим отделом с 1934 г. по 1983 г. был И. М. Виноградов, с 1983 г. по 2008 г. — А. А. Карацуба. После безвременной смерти А.А. Карацубы 28.09.2008 отдел остаётся без руководителя. В разные годы в отделе работали: К. К. Марджанишвили, А. О. Гельфонд, Б. И. Сегал, Л. Г. Шнирельман, Н. М. Коробов, Л. П. Постникова, Н. В. Кузнецов, С. А. Степанов, А. И. Виноградов, А. Г. Постников, К. И. Осколков, С. М. Воронин, А. И. Павлов, И. Ю. Федоров, М. Е. Чанга, В. А. Исковских.

Сотрудники отдела

В настоящее время в отделе теории чисел работают

• Архипов Геннадий Иванович, доктор физ.-матем. наук, профессор, ведущий научный сотрудник
• Гриненко Михаил Михайлович, доктор физ.-матем. наук, ведущий научный сотрудник
• Королев Максим Александрович, кандидат физ.-матем. наук, старший научный сотрудник
• Пржиялковский Виктор Владимирович, кандидат физ.-матем. наук, научный сотрудник
• Пухликов Александр Валентинович, доктор физ.-матем. наук, ведущий научный сотрудник
• Резвякова Ирина Сергеевна, кандидат физ.-матем. наук, научный сотрудник

Открытия отдела

К числу наиболее ярких открытий сотрудников отдела принадлежат:

— новый метод оценок сумм Г. Вейля и его приложения в теории чисел;

— асимптотическая формула для количества представлений нечётного числа суммой трёх простых чисел и, как следствие этой формулы, - проблема Гольдбаха;

— теория тригонометрических сумм с простыми числами;

— седьмая проблема Гильберта о трансцендентности логарифмов алгебраических чисел;

— рациональные приближения линейных форм алгебраических чисел и диофантовы уравнения;

— верхняя граница для числа слагаемых в проблеме Гильберта-Камке;

— элементарные методы в аддитивных задачах с простыми числами;

— проблема Варинга и её обобщение на нецелые показатели;

— теоретико-числовые методы в численном анализе;

— большое решето и его применения.

Направления исследований отдела

В настоящее время в отделе активно ведутся исследования в теории кратных тригонометрических сумм, теории тригонометрических интегралов, аддитивных проблемах, теории распределения простых чисел, теории дзета-функции Римана и её обобщений, теории характеров Дирихле, теории диофантовых уравнений, теории рядов, по программе минимальных моделей и ее приложениям к бирациональной классификации многомерных алгебраических многообразий; бирациональной жёсткости многомерных многообразий Фано и расслоений Фано; бирациональной классификации расслоений в смысле Мори.

Основные результаты отдела

Сотрудниками отдела выполнены исследования по всем основным направлениям аналитической теории чисел, а также по ряду направлений прикладной математики, теории функций и алгебраической геометрии. В частности:

• создан локальный метод в теории тригонометрических сумм, на основе которого построена теория кратных тригонометрических сумм, подобная классической теории Виноградова сумм Г. Вейля;
• решены проблемы о показателе сходимости особых интегралов проблем Терри и её обобщений;
• решена проблема Гильберта-Камке и её обобщения на кратный случай;
• опровергнуты усиленные варианты гипотезы Артина о количестве переменных формы или системы форм, нетривиально представляющих нуль в локальных полях;
• открыт метод оценок коротких сумм характеров с модулем, равным степени фиксированного простого числа;
• разработаны новые элементарные методы в теории распределения простых чисел и теории уравнений в конечных полях;
• получены оценки коротких сумм характеров по сдвинутым простым числам в линейном и нелинейном случаях, превосходящие по своей силе результаты, следующие из расширенной гипотезы Римана;
• доказана универсальность дзета-функции Римана и её обобщений;
• создан новый метод получения явных формул в аддитивных задачах теории чисел;
• доказан усиленный вариант проблемы Гильберта о дифференциальной независимости дзета-функции Римана и её обобщений;
• доказана гипотеза А. Сельберга о нулях дзета-функции Римана на коротких промежутках критической прямой;
• доказана теорема об "исключительности" критической прямой для нулей функции Дэвенпорта-Хейльбронна и дзета-функции Эпштейна;
• на основе метода Виноградова найдены новые свойства решений задачи Коши для уравнений типа Шредингера с периодическими начальными данными и, в частности, обнаружен "квантовый хаос";
• изучены локальные и глобальные свойства сумм тригонометрических рядов с вещественными алгебраическими многочленами в показателе мнимой экспоненты;
• найдены алгоритмы быстрого умножения многозначных чисел и быстрого вычисления элементарных алгебраических функций;

построены новые квадратурные формулы;

• решена проблема Люрота;
• развита теория рациональных поверхностей над алгебраически незамкнутым полем и описаны определяющие соотношения в группе Кремоны плоскости над незамкнутым полем;
• введено и изучено понятие бирациональной жесткости, ставшее одним из ключевых понятий современной многомерной бирациональной геометрии, доказана бирациональная жёсткость основных классов многомерных многообразий Фано и больших классов расслоений Фано.

См. также

• Математический институт им. В. А. Стеклова РАН
• Виноградов, Иван Матвеевич
• Гельфонд, Александр Осипович
• Карацуба, Анатолий Алексеевич
• Проблема Гольдбаха
• Седьмая проблема Гильберта
• Умножение Карацубы

Ссылки

• Официальный сайт МИАН