Уравнения Лагранжа второго рода

У этого термина существуют и другие значения, см. Уравнения Лагранжа.

Уравнениями Лагранжа второго рода называют дифференциальные уравнения движения механической системы, получаемые при применении лагранжева формализма.

Вид уравнений

Если голономная механическая система описывается лагранжианом $L(q_i, \dot q_i, t)$ ($q_i$ — обобщённые координаты, t — время, точкой обозначено дифференцирование по времени) и в системе действуют только потенциальные силы, то уравнения Лагранжа второго рода имеют вид

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0$

где i = 1, 2, … n (n — число степеней свободы механической системы).

Если в системе действуют непотенциальные силы (например, силы трения), уравнения Лагранжа второго рода имеют вид

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{\partial T}{\partial q_i} = Q_i$

где $T(q_i, \dot q_i, t)$ — кинетическая энергия системы, $Q_i$ — обобщённая сила.

Вывод уравнений

В лагранжевой механике вывод уравнений Лагранжа происходит на основе принципа наименьшего действия. Механическая система может быть описана некой функцией $L(q_i, \dot q_i, t)$, называемой лагранжианом. Принцип наименьшего действия гласит, что функционал

$S = \int_{t_1}^{t_2}L(q_i, \dot q_i, t)dt$

называемый действием принимает минимальное значение на траектории системы (здесь t₁ и t₂ — начальный и конечный моменты времени).

Применяя к функционалу действию стандартную схему оптимизации, получаем для него уравнения Лагранжа — Эйлера, которые и называются уравнениями Лагранжа второго рода для механической системы.

См. также

• Уравнения Лагранжа первого рода

Для улучшения этой статьи по физике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проставить интервики в рамках проекта Интервики.