Стохастический интеграл

Стохастический интеграл - интеграл вида $\int f(t) dy(t)$, где ${y(t), t \in T}$ - случайный процесс с независимыми нормальными приращениями. Стохастические интегралы широко используются в стохастических дифференциальных уравнениях. Стохастический интеграл нельзя вычислять как обычный интеграл Стильтьеса.

Стохастический интеграл от детерминированной функции

Cтохастический интеграл можно определить при помощи сумм следующим образом: $I = \int f(t) dy(t) = \sum f(\tau_i)[y(t_{i+1})-y(t_i)]$. Интеграл получается, как и у интеграла Стильтьеса, обычным методом обобщения: $I = \lim \int f_{n}(t) dy(t)$.

Стохастический интеграл от стохастического процесса

Рассмотрим интеграл $\int_0^T \omega(t) d\omega(t)$, где ${\omega(t), t \in T}$ - винеровский процесс с единичным параметром дисперсии. Разделим интервал $(0, T)$ точками $0=t_1, t_2, ..., t_N, t_{N+1}=T$ на $N$ подынтервалов. Используя предыдущее определение интеграла для детерминированной функции, стохастический интеграл можно определить любым из двух выражений: $I_0=\lim \sum^{N}_{i=1}\omega(t_i)[\omega(t_{i+1})-\omega(t_i)]$, или $I_1=\lim \sum^{N}_{i=1}\omega(t_{i+1})[\omega(t_{i+1})-\omega(t_i)]$. Эти интегралы не равны, поскольку, по определению винеровского процесса: $I_1-I_0=\lim \sum^{N}_{i=1}[\omega(t_{i+1})-\omega(t_i)]^2=t$. Произвольный стохастический интеграл можно определить как взвешенную по параметру $\lambda$ сумму интегралов $I_0$ и $I_1$ следующей формулой: $I_\lambda=(1 - \lambda)I_0+\lambda I_1=\lim \sum^N_{i=1}[(1-\lambda)\omega(t_i)+\lambda\omega(t_{i+1})][\omega(t_{i+1})-\omega(t_i)]$, при $0 \leqslant \lambda \leqslant 1$. Интеграл $I_0$ называется интегралом Ито, а $I_{0,5}$ называется интегралом Стратоновича.

Интеграл Стратоновича

Интеграл Стратоновича имеет вид: $I=\frac{1}{2}\lim \sum^{N}_{i=1}f(\frac{t_{i+1}+t_i}{2})[y(t_{i+1})-y(t_i)]$.

Интеграл Ито

Интеграл Ито имеет вид: $\int f(t) dy(t)=\lim \sum^{N}_{i=1}f(t_i)[y(t_{i+1})-y(t_i)]$. Его основные свойства: $E \int f(t) dy(t) = \int { E f(t) } dm(t)$, $cov [ \int f(t) dy(t), \int g(t) dy(t) ] = \int [ E f(t) g(t) ] dr(t)$.

См. также

• Винеровский процесс
• Стохастическое исчисление Ито
• Стратонович, Руслан Леонтьевич

Литература

• К.Ю. Острём Введение в стохастическую теорию управления. // пер. с англ. С.А. Анисисмова, Н.Е. Арутюновой, А.Л. Бунича, под ред.

Н.С. Райбмана, "Мир", М., 1973, гл. 3. Стохастические модели состояния, п. 5. Стохастические интегралы.