Трилинейная интерполяция

Трилинейная интерполяция — метод многомерной интерполяции в трёхмерном евклидовом пространстве. Линейно аппроксимирует значение функции $f$ в точке $(x, y, z)$, используя известные значения в окружающих точках.

Трилинейная интерполяция часто используется в численном анализе и машинной графике^{[источник?]}.

Сравнение с линейной и билинейной интерполяцией

Трилинейная интерполяция является расширением линейной интерполяции, действующей в пространстве с размерностью $D=1$, и билинейной интерполяции, действующей в пространстве с размерностью $D=2$, на пространство размерности $D=3$. Для того чтобы интерполировать значения функции в точке $(x,y,z)$, необходимо знать значения $f$ в 8 смежных точках, окружающих $(x,y,z)$.

Интерполяция действительной функции

Допустим, требуется интерполировать значение функции $f$ в точке $(x,y,z)$. Пусть даны значения функции $f$ в окружающих точках $(x_i,y_j,z_k)$, где $i=1,2$, $j=1,2$, $k=1,2$, причем $x_1<x<x_2$, $y_1<y<y_2$, $z_1<z<z_2$. Последовательно проводя линейную интерполяцию для каждого измерения, можно получить следующую формулу:

$\begin{align} f(x,y)&\approx\frac{f(x_1,y_1,z_1)}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2-z_1)}(x_2-x)(y_2-y)(z_2-z)+\\ &+\frac{f(x_1,y_1,z_2)}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2-z_1)}(x_2-x)(y_2-y)(z-z_1)+\\ &+\frac{f(x_1,y_2,z_1)}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2-z_1)}(x_2-x)(y-y_1)(z_2-z)+\\ &+\frac{f(x_1,y_2,z_2)}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2-z_1)}(x_2-x)(y-y_1)(z-z_1)+\\ &+\frac{f(x_2,y_1,z_1)}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2-z_1)}(x-x_1)(y_2-y)(z_2-z)+\\ &+\frac{f(x_2,y_1,z_2)}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2-z_1)}(x-x_1)(y_2-y)(z-z_1)+\\ &+\frac{f(x_2,y_2,z_1)}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2-z_1)}(x-x_1)(y-y_1)(z_2-z)+\\ &+\frac{f(x_2,y_2,z_2)}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2-z_1)}(x-x_1)(y-y_1)(z-z_1). \end{align}$

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение).