Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник — это треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине. Равные стороны называются боковыми, а последняя — основанием. По определению, правильный треугольник также является равнобедренным, но обратное утверждение неверно.

Свойства

• Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Также равны биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов.
• Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию, совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии.
• Углы, противолежащие равным сторонам, всегда острые (следует из их равенства).

Пусть a — длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b — длина третьей стороны, α и β — соответствующие углы, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной.

Стороны могут быть найдены следующим образом:

• $a = 2R \sin \alpha, b = 2R \sin \beta$ (теорема синусов);
• $a = \frac b {2 \cos \alpha}$ (следствие теоремы косинусов);
• $b = a \sqrt {2 (1 - \cos \beta)}$ (следствие теоремы косинусов);
• $b = 2a \sin \frac \beta 2$;
• $b = 2a \cos \alpha$ (теорема о проекциях).

Углы могут быть выражены следующими способами:

• $\alpha = \frac {\pi - \beta} 2;$
• $\beta = \pi - 2\alpha;$
• $\alpha = \arcsin \frac a {2R}, \beta = \arcsin \frac b {2R}$ (теорема синусов).

Периметр равнобедренного треугольника может быть вычислен любым из следующих способов:

• $P = 2a + b$ (по определению);
• $P = 2R (2 \sin \alpha + \sin \beta)$ (следствие теоремы синусов).

Площадь треугольника может быть вычислена одним из следующих способов:

$S = \frac 1 2 a^2 \sin \beta = \frac 1 2 ab \sin \alpha = \frac {b^2}{2 \cos \frac \beta 2};$

$S = \frac 1 2 b \sqrt {\left( a + \frac 1 2 b \right) \left( a - \frac 1 2 b \right)}$ (формула Герона).

Признаки

• Два угла треугольника равны.
• Высота совпадает с медианой.
• Высота совпадает с биссектрисой.
• Биссектриса совпадает с медианой.
• Две высоты равны.
• Две медианы равны.
• Две биссектрисы равны (теорема Штейнера — Лемуса).

См. также

• Треугольник
• Правильный треугольник