- Нечёткое множество
-
Эту страницу предлагается объединить с Теория нечётких множеств, Теория нечётких множеств (Заде). Пояснение причин и обсуждение — на странице Википедия:К объединению/15 августа 2012.
Обсуждение длится одну неделю (или дольше, если оно идёт медленно).
Дата начала обсуждения — 2012-08-15.
Если обсуждение не требуется (очевидный случай), используйте другие шаблоны.
Не удаляйте шаблон до подведения итога обсуждения.Необходимо перенести в эту статью содержимое статей Теория нечётких множеств, Теория нечётких множеств (Заде) и поставить оттуда перенаправление. Вы можете помочь проекту, объединив статьи (cм. инструкцию по объединению).В случае необходимости обсуждения целесообразности объединения, замените этот шаблон на шаблон {{к объединению}} и добавьте соответствующую запись на странице ВП:КОБ.
Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, путанное, пушистое) множество — понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control [1]. Л. Заде расширил классическое канторовское понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале , а не только значения или .
Содержание
Определение
Под нечётким множеством понимается совокупность
, где — универсальное множество, а — функция принадлежности (характеристическая функция), характеризующая степень принадлежности элемента нечёткому множеству .
Функция принимает значения в некотором линейно упорядоченном множестве . Множество называют множеством принадлежностей, часто в качестве выбирается отрезок . Если , то нечёткое множество может рассматриваться как обычное, чёткое множество.
Основные определения
Пусть нечёткое множество с элементами из универсального множества и множеством принадлежностей . Тогда
- Носителем (суппортом) нечёткого множества называется множество .
- Величина
называется высотой нечёткого множества . Нечёткое множество нормально, если его высота равна . Если высота строго меньше , нечёткое множество называется субнормальным. - Нечёткое множество пусто, если . Непустое субнормальное нечёткое множество можно нормализовать по формуле:
-
.
- Нечёткое множество унимодально, если только на одном из .
- Элементы , для которых , называются точками перехода нечёткого множества .
Сравнение нечётких множеств
Пусть и нечёткие множества, заданные на универсальном множестве .
- содержится в , если для любого элемента из функция его принадлежности множеству будет принимать значение меньшее либо равное, чем функция принадлежности множеству :
- В случае, если условие выполняется не для всех , говорят о степени включения нечёткого множества в , которое определяется так:
где
- Два множества называются равными, если они содержатся друг в друге:
- В случае, если значения функций принадлежности и почти равны между собой, говорят о степени равенства нечётких множеств и , например, в виде
где
Свойства нечётких множеств
- α-разрезом нечёткого множества , обозначаемым как , называется следующее чёткое множество:
то есть множество, определяемое следующей характеристической функцией (функцией принадлежности):
Для α-разреза нечёткого множества истинна импликация
- Нечёткое множество является выпуклым тогда и только тогда, когда выполняется условие
для любых и .
- Нечёткое множество является вогнутым тогда и только тогда, когда выполняется условие
для любых и .
Операции над нечёткими множествами
При
- Пересечением нечётких множеств и называется наибольшее нечёткое подмножество, содержащееся одновременно в и :
- Произведением нечётких множеств и называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:
- Объединением нечётких множеств и называется наименьшее нечёткое подмножество, содержащее элементы или :
- Суммой нечётких множеств и называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:
- Отрицанием множества называется множество с функцией принадлежности:
для каждого .
Альтернативное представление операций над нечёткими множествами
Пересечение
В общем виде операция пересечения нечётких множеств определеляется следующим образом
где функция T — это так называетмая T-норма. Ниже приведены частные примеры реализации T-нормы:
- , для .
Объединение
В общем случае операция объединения нечётких множеств определеляется следующим образом
где функция S — S-норма (T-конорма). Ниже приведены частные примеры реализации S-нормы:
- , для .
Связь с теорией вероятностей
Теория нечётких множеств в определенном смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым к теории вероятностей. Основная идея состоит в том, что значение функции принадлежности можно рассматривать как вероятность накрытия элемента некоторым случайным множеством .
Однако при практическом применении аппарат теории нечётких множеств обычно используется самостоятельно, выступая конкурентом к аппарату теории вероятностей и прикладной статистики.
Примеры
Литература
- Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976. 166c.
- Zadeh L.A. Fuzzy sets. — Information and Control, 1965, vol.8, N 3,pp.338-353.
- Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982. - 432 с.
- Нечеткие множества и теория возможностей: Последние достижения. Под редакцией Р.Р. Ягера. - М.: Радио и связь, 1986.
Ссылки
См. также
- Теория нечётких множеств
- Нечёткие множества в финансовом менеджменте
- Линейная частичная информация
Категории:- Теория множеств
- Нечёткая логика
Wikimedia Foundation. 2010.