- Проективное пространство
-
Проекти́вное простра́нство над телом — пространство, состоящее из прямых (одномерных подпространств) некоторого линейного пространства над данным телом. Прямые пространства называются точками проективного пространства.
Если имеет размерность , то размерностью проективного пространства называется число а само проективное пространство обозначается и называется ассоциированным с (чтобы это указать, принято обозначение ).
Переход от векторного пространства размерности к соответствующему проективному пространству называется проективизацией пространства .
Точки можно описывать с помощью однородных координат.
Проективное пространство может быть также определено системой аксиом типа гильбертовской, что наиболее интересно в случае проективной плоскости. Тогда оказывается, что проективная плоскость, определённая аксиомами, может быть определена как двухмерное проективное пространство над некоторым телом тогда и только тогда, когда выполняется т. н. аксиома Дезарга, которая для размерностей больших 2 является теоремой.
Содержание
Связанные определения
- Двумерное проективное пространство называется проективной плоскостью.
- Пусть есть гиперплоскость в линейном пространстве . Проективное пространство называется проективной гиперплоскостью .
Свойства
- На дополнении проективной гиперплоскости существует естественная структура аффинного пространства.
- Обратно, взяв за основу аффинное пространство можем получить проективное пространство как аффинное, к которому добавлены бесконечно удалённые точки. Первоначально проективное пространство и было введено таким образом.
Тавтологическое расслоение
Тавтологическим расслоением называется векторное расслоение, пространством расслоения которого является подмножество прямого произведения
а слоем — вещественная прямая . Каноническая проекция отображает прямую, проходящую через точки , в соответствующую точку проективного пространства. При это расслоение не является тривиальным. При пространством расслоения является лента Мёбиуса.
Литература
- Артин Э. Геометрическая алгебра — М.: Наука, 1969.
- Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1979.
- Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия — М.: МГУ, 1980.
- Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии — М.: Мир, 1970.
- Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
- Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, Москва, 1990.
- Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. — УРСС, Москва, 2004.
- Фиников С. П. Аналитическая геометрия: Курс лекций. — УРСС, Москва, 2008.
Категория:- Проективная геометрия
Wikimedia Foundation. 2010.