- Тождество Якоби
-
Билинейная операция на линейном пространстве называется удовлетворяющей тождеству Якоби, если:
Названо в честь Карла Густава Якоби.
Понятие тождества Якоби обычно связано с алгебрами Ли.
Содержание
Примеры
Следующие операции удовлетворяют тождеству Якоби:
- Коммутатор операторов
- коммутатор в алгебре Ли
- Скобки Ли векторных полей
- Скобки Пуассона функций на симплектическом многообразии
- Векторное произведение векторов
Значение в алгебрах Ли
Если умножение антикоммутативно, то тождеству Якоби можно придать несколько другой вид, используя присоединённое представление алгебры Ли:
Записав тождество Якоби в форме
получим, что оно равносильно условию выполнения правила Лейбница для оператора :
Таким образом, — это дифференцирование в алгебре Ли. Любое такое дифференцирование называется внутренним.
Тождеству Якоби также можно придать вид
Это означает, что оператор задаёт гомоморфизм данной алгебры Ли в алгебру Ли её дифференцирований.
Градуированное тождество Якоби
Пусть — градуированная алгебра, - умножение в ней. Говорят, что умножение в удовлетворяет градуированному тождеству Якоби, если для любых элементов
Примеры
- алгебра внешних форм;
- алгебра дифференцирований дифференциальных форм;
- алгебра тангенциальнозначных форм с умножением, задаваемым FN-скобками или NR-скобками;
В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 15 мая 2011.Категории:- Свойства операций
- Группы Ли
Wikimedia Foundation. 2010.