- Якобиан отображения
-
Якобиан отображения — определённое обобщение производной для функции одной переменной для отображений из Евклидова пространства в себя. Якобиан выражается как определитель матрицы, составленной из частных производных отображения.
Якобиан отображения в точке обычно обозначается .
Определение
Пусть , дифференцируема в точке . Матрица из частных производных координатных функций данного отображения в точке
называется матрицей Якоби в этой точке. Определитель этой матрицы называется Якобиан.
История
Введён Якоби (1833, 1841).
Свойства
- Абсолютное значение Якобиана в некоторой точке равно коэффициенту искажения объёмов в этой точке (то есть пределу отношения объёма образа окрестности точки к объёму самой окрестности, когда размеры окрестности стремятся к нулю).
- Якобиан в точке положителен, если отображение не меняет ориентации в окрестности точки М, и отрицателен в противоположном случае.
- Если Якобиан отображения не обращается в нуль в области , то отображение является локальным диффеоморфизмом.
Категории:- Дифференциальное исчисление многих переменных
- Определители
-
Wikimedia Foundation. 2010.