- Класс эквивалентности
-
Отношение эквивалентности () на множестве X — это бинарное отношение, для которого выполнены следующие условия:
- Рефлексивность: для любого a в X,
- Симметричность: если , то ,
- Транзитивность: если и , то .
Запись вида «» читается как «a эквивалентно b».
Содержание
Связанные определения
- Классом эквивалентности C(a) элемента a называется подмножество элементов, эквивалентных a. Из вышеприведённого определения немедленно следует, что, если , то C(a) = C(b).
Множество всех классов эквивалентности обозначается .
- Множество классов эквивалентности по отношению является разбиением множества.
Примеры отношений эквивалентности
- Равенство («»), тривиальное отношение эквивалентности на любом множестве, в частности, вещественных чисел.
- Сравнение по модулю, («а ≡ b (mod n)»).
- В Евклидовой геометрии
- Отношение конгруэнтности («»).
- Отношение подобия («»).
- Отношение параллельности прямых («»).
Факторизация отображений
Множество классов эквивалентности, отвечающее отношению эквивалентности , обозначается символом X / ˜ и называется фактормножеством относительно . При этом сюръективное отображение
называется естественным отображением (или канонической проекцией) X на фактормножество X / ˜.
Пусть X, Y — множества, — отображение, тогда бинарное отношение определённое правилом
является отношением эквивалентности на X. При этом отображение f индуцирует отображение , определяемое правилом
или, что то же самое,
- .
При этом получается факторизация отображения f на сюръективное отображение p и инъективное отображение .
Литература
- А. И. Кострикин Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
Wikimedia Foundation. 2010.