Теорема Аполлония

Зелёное + Голубое = Красное

В планиметрии теорема Аполлония является формулой, выражающей длину медианы треугольника через его стороны. В частности, если в каком-либо треугольнике ABC медиана AD, то

$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2+BD^2).\,$

Это частный случай теоремы Стюарта. Для равнобедренного треугольника теорема сводится к теореме Пифагора. Из факта, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, можно доказать, что теорема эквивалентна тождеству параллелограмма.

Теорема называется в честь Аполлония Пергского.

Доказательство

Доказательство теоремы Аполлония

Теорема может быть доказана как особый случай теоремы Стюарта или с помощью векторов (см. тождество параллелограмма). Ниже приводится независимое доказательство, использующее теорему косинусов.^[1]

Пусть стороны треугольника a, b, c, а медиана d проведена к стороне a треугольника. Пусть m — длина отрезков a, образованных медианой, то есть m составляет половину a. Пусть углы между a и d — θ и θ′, где θ содержит b и θ′ содержит c. Затем, θ′ является смежным углом к θ и cos θ′ = −cos θ. Теорема косинусов для θ и θ′ гласит:

$\begin{align} b^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta \\ c^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta'= \\ &= m^2 + d^2 + 2dm\cos\theta.\, \end{align}$

Сложив эти уравнения, получим

$b^2 + c^2 = 2m^2 + 2d^2\,$

как и требовалось.

См. также

• Теорема Стюарта
• Задача Аполлония

Ссылки

1. ↑ Following Godfrey & Siddons

• Modern Geometry. — University Press, 1908. — P. 20.
• Apollonius Theorem (англ.) на сайте PlanetMath.