Формула Карди

Формула Карди — формула для предельной вероятности пробоя в двумерной задаче перколяции. Предсказанная в начале 1990-х годов Джоном Карди (англ.) на основании рассуждений конформной теории поля (англ.), она утверждает, что предельная вероятность пробоя между дугами $[a,b]$ и $[c,d]$ границы односвязной области $\Omega$ в задаче критической перколяции равна

$\Pi(\Omega;[a,b],[c,d])= \frac{\Gamma(2/3)}{\Gamma(1/3)\Gamma(4/3)} \eta^{1/3} {}_2F_1\left( \frac{1}{3},\frac{2}{3}; \frac{4}{3},\eta \right) = 1- \frac{\Gamma(2/3)}{\Gamma(1/3)\Gamma(4/3)} (1-\eta)^{1/3} {}_2F_1\left( \frac{1}{3},\frac{2}{3}; \frac{4}{3},1-\eta \right) ,$

где ${}_2F_1$ — гипергеометрическая функция, а $\eta$ — двойное отношение

$\eta= \frac{x_4-x_3}{x_3-x_1} :\frac{x_4-x_2}{x_2-x_1}$

четырёх образов $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ точек $a,b,c,d$ при конформном отображении области $\Omega$ в верхнюю полуплоскость. ^[1][2][3]

Формула Карди в переформулировке Карлесона: $\Pi(\Delta;[a,b],[c,d])=x$.

Эта формула была переформулирована Леннартом Карлесоном^[4] в следующем виде: если отображение, конформно переводящее область $\Omega$ в правильный треугольник со стороной 1, а точки $a$, $b$ и $c$ в вершины этого треугольника, переводит точку $d$ в находящуюся на расстоянии $x$ от вершины-образа точки $c$, то искомая вероятность равна^[5][2] $x$.

Для случая треугольной решётки эта формула была строго доказана в начале 2000-х Станиславом Смирновым с использованием техники дискретно-гармонических функций.^[5][2][6]

Формула

Исторические предпосылки

Основная статья: Теория перколяции

Вопрос о вероятности пробоя, для конкретной (трёхмерной) модели (упакованные в ящике заданного размера чёрные и белые шары) задавался ещё в 1894 году, в журнале American Mathematical Monthly. Де Вольсон Вуд (англ.) предложил^[7] следующую задачу:

An equal number of white and black balls of equal size are thrown into a rectangular box, what is the probability that there will be contiguous contact of white balls from one end of the box to the opposite end ? As a special example, suppose there are 30 balls in the length of the box, 10 in the width and 5 (or 10) layers deep

Стоит отметить, что опубликованное в этом номере решение П. Х. Филбрика было приближённым (в нём предполагалось, что наиболее вероятно существование пробоя по прямой); там же, редакторы предлагали опубликовать точное решение, если кто-нибудь его найдёт. Как мы теперь знаем, сделанное в приближённом решении предположение было далеко от истины.^[4]

В 1957 году Бродбент и Хаммерсли заложили основы математической теории перколяции в своей работе^[8], исходной точкой для которой послужило исследование просачивания газов сквозь угольный фильтр противогаза^[9].

В начале 1990-х появляется работа Ленглендса (англ.) и др.^[10][11], в которой исследуются различные вероятности пробоя в прямоугольной области для шести различных моделей, и обнаруживается, что (в пределах точности численных экспериментов) эти функции для различных моделей совпадают. Кроме того, Айзенман (англ.) высказывает^[12][13] гипотезу о конформной инвариантности вероятности пробоя.

Почти сразу после этого, Карди предлагает свою формулу для вероятности пробоя.^[1]

Постановка задачи

Формулой Карди задаётся ответ в задаче о пробое. А именно, рассматривается односвязная область $\Omega$ на плоскости, с четырьмя отмеченными точками $a,b,c,d$ на границе. При каждом $\delta>0$, эта область аппроксимируется решёткой с шагом (или масштабом) $\delta$ — в зависимости от задачи, квадратной, треугольной, или более сложной; так получается граф $\Omega^{\delta}$ с отмеченными точками $a^\delta,b^\delta,c^\delta,d^\delta$.

Для каждого $\delta>0$, находится вероятность пробоя в этом графе. А именно, вершины графа независимо, каждая с вероятностью 1/2, объявляются «открытыми» или «закрытыми», и искомая вероятность $\Pi_{\delta}$ это вероятность наличия пути от дуги $[a^\delta, b^\delta]$ к дуге $[c^\delta, d^\delta]$, идущего только по открытым вершинам.

Наконец, искомая вероятность пробоя определяется как предел «дискретизованных» вероятностей $\Pi_{\delta}$ при $\delta$, стремящемся к нулю:

$\Pi(\Omega,[a,b],[c,d]):=\lim_{\delta\to 0} \Pi_{\delta}.$

Ответ Карди

Предложенный Карди (с использованием конформной теории поля) ответ для вероятности пробоя был следующим:

• Вероятность пробоя конформно-инвариантна, то есть если между областями $\Omega$ и $\Omega'$ есть конформное отображение $\varphi$, переводящее точки $a,b,c,d$ на границе $\Omega$ в точки $a',b',c',d'$ на границе $\Omega'$, то

$\Pi(\Omega;[a,b],[c,d])=\Pi(\Omega';[a',b'],[c',d']).$

Тем самым, достаточно задавать вероятность пробоя лишь для какой-нибудь одной односвязной области, причём три из четырёх точек $a,b,c,d$ могут быть зафиксированы.

• В верхней полуплоскости $\C_+=\{Im \, z>0\}$ для точек $0,1-u,1,\infty$ вероятность пробоя выражается через гипергеометрическую функцию ${}_2F_1$ как^[2]

$\Pi(\C_+;[1-u,1],[\infty,0])= \frac{\Gamma(2/3)}{\Gamma(1/3)\Gamma(4/3)} u^{1/3} {}_2F_1\left( \frac{1}{3},\frac{2}{3}; \frac{4}{3},u \right).$

Это представление может быть переписано как интеграл

$\Pi(\C_+;[1-u,1],[\infty,0])= \frac{1}{\int_0^1 (v(1-v))^{-2/3} dv} \int_0^u (v(1-v))^{-2/3} dv.$

Переформулеровка Карлесона

Вскоре после появления формулы Карди, Леннарт Карлесон заметил^[4], что интеграл, стоящий в правой части интегрального представления, задаёт (как функция на верхней полуплоскости) конформное отображение верхней полуплоскости на правильный треугольник. Поэтому, формулу Карди можно упростить, рассмотрев в качестве области правильный треугольник, у которого три из четырёх отмеченных точек находятся в вершинах. В этом случае, вероятность пробоя оказывается равна просто отношению того из отрезков $[a,b], [c,d]$, который не является стороной треугольника, к стороне треугольника.

Доказательство для случая треугольной решётки

Формула Карди для случая треугольной решётки была доказана Смирновым с использованием техники дискретного комплексного анализа. Одним из шагов его доказательства явилось продолжение вероятности пробоя до функции на внутренности области. А именно, для дискретизованной области $\Omega_{\delta}$ с тремя отмеченными точками $A_{\delta}, B_{\delta}, C_{\delta}$ на границе, рассматривается функция $h_{C,\delta}(z)$ на этой области, задающая вероятность наличия открытого пути от дуги $A_{\delta}C_{\delta}$ до дуги $B_{\delta}C_{\delta}$ границы, отделяющего от дуги $A_{\delta}B_{\delta}$ точку $z$. Вероятность пробоя $\Pi_{\delta}(\Omega_{\delta};[A_{\delta}B_{\delta}],[C_{\delta}D_{\delta}])$ задаётся значением этой функции в граничной точке $D_{\delta}$.

Оказывается, что как для суммы трёх таких функций,

$h_{\delta}=h_{A,\delta}(z)+ h_{B,\delta}(z)+ h_{C,\delta}(z),$

так и для их линейной комбинации

$s_{\delta}=h_{A,\delta}(z)+ \tau h_{B,\delta}(z)+\tau h_{C,\delta}(z), \quad \tau=e^{2\pi i/3},$

дискретно-антиголоморфный дифференциал $\bar{\partial}$ оказывается малым (и стремящимся к нулю с уменьшением шага $\delta$). Отсюда следует голоморфность предельных функций $h=\lim_{\delta\to 0} h_{\delta}$ и $s=\lim_{\delta\to 0} s_{\delta}$. Наконец, функция $h$ голоморфна и принимает только вещественные значения; тем самым, она оказывается постоянной и, в силу граничных значений, тождественно равной единице.

Анализ функции s показывает, что она конформно отображает область $\Omega$ в правильный треугольник, переводя точки A, B и C в точки $0, 1, e^{\pi i/3}$; формула Карди после этого восстанавливается, исходя из исследования поведения функций на границе.

Примечания

1. ↑ ^{1 2} Cardy, 1992
2. ↑ ^{1 2 3 4} Smirnov, 2006
3. ↑ Sheffield, S. and Wilson, D. B. Schramm’s proof of Watts’ formula  (англ.). Архивировано из первоисточника 25 августа 2012.
4. ↑ ^{1 2 3} Смирнов С. К. Выступление на Всероссийском съезде учителей математики в МГУ. Архивировано из первоисточника 25 августа 2012.
5. ↑ ^{1 2} Smirnov, 2001
6. ↑ Beffara V. Cardy’s formula on the triangular lattice, the easy way. Архивировано из первоисточника 15 мая 2012.
7. ↑ Wood D. V., Philbrick P. H. Solutions to problems: 5 // American Mathematical Monthly. — 1894. — Т. 1. — № 6. — С. 211-212.
8. ↑ Broadbent S.R., Hammersley J.H. Percolation processes, I. Crystals and mazes (англ.) // Proc. Camb. Phil. Soc.. — 1957. — Vol. 53. — P. 629—641.
9. ↑ Эфрос, 1982, с. 1—2
10. ↑ Langlands R. P. , Pichet C., Pouliot Ph., Saint-Aubin Y. On the universality of crossing probabilities in two-dimensional percolation // Journal of Statistical Physics. — Vol. 67. — P. 553-574. — DOI:10.1007/BF01049720
11. ↑ Langlands R. P., Pichet C., Pouliot Ph., Saint-Aubin Y. On the Universality of Crossing Probabilities in Two-Dimensional Percolation // Preprint CRM-1785. — October 1991.
12. ↑ Langlands R., Pouliot Ph., Saint-Aubin Y. Conformal invariance in two-dimensional percolation // Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). — Vol. 30. — P. 1–61.
13. ↑ Smirnov, 2001, p. 239

Ссылки

• Austin D. Percolation: Slipping through the Cracks  (англ.). American Mathematical Society Feature Column. Архивировано из первоисточника 15 мая 2012. Проверено 8 сентября 2011.

Литература

• Эфрос А.Л. Физика и геометрия беспорядка. — Библиотечка «Квант». — Москва: Наука, 1982. — 265 с с.
• Cardy J. Critical percolation in finite geometries // J. Phys. A. — 1992. — Т. 25. — С. L201-L206.
• Smirnov S. Critical percolation in the plane. I. Conformal invariance and Cardy’s formula. II. Continuum scaling limit..
• Smirnov S. Critical percolation in the plane: conformal invariance, Cardy’s formula, scaling limits // C. R. Acad. Sci. Paris, ser. I. — 2001. — Vol. 333. — P. 239—244.
• Smirnov S. Critical percolation and conformal invariance (англ.) // XIVth International Congress on Mathematical Physics, Lisbon, Portugal, July 28 — August 2, 2003 / Zambrini, Jean-Claude (ed.). — Hackensack, NJ: World Scientific Publishing, 2006. — С. 99—112. — ISBN 978-9812562012.
• Beffara V. Cardy’s formula on the triangular lattice, the easy way. Архивировано из первоисточника 15 мая 2012.
• Kesten H. Some Highlights on Percolation // Proceedings of the International Congress of Mathematicians: Beijing 2002, August 20-28. — Т. 1. — С. 345--362. — ISBN 978-7040086904.