Обратные гиперболические функции

Обратные гиперболические функции — определяются как обратные функции к гиперболическим функциям. Эти функции определяют площадь сектора единичной гиперболы x² − y² = 1 аналогично тому, как обратные тригонометрические функции определяют длину дуги единичной окружности x² + y² = 1. Для этих функций часто используются обозначення arcsinh, arcsh, arccosh, arcch и т. д., хотя такое обозначение является в общем случае ошибочным, так как arc является сокращением от arcus — дуга, тогда как префикс ar обозначает area — площадь. Более правильными являются обозначения arsinh, arsh и т. д. и названия гиперболический ареасинус, гиперболический ареакосинус и т. д.

Определения функций

Гиперболический ареасинус для действительного аргумента

Гиперболический ареакосинус для действительного аргумента

Гиперболический ареатангенс для действительного аргумента

Гиперболический ареакотангенс для действительного аргумента

Гиперболический ареасеканс для действительного аргумента

Гиперболический ареакосеканс для действительного аргумента

В комплексной плоскости функции можно определить формулами:

• Гиперболический ареасинус

$\operatorname{arsinh}\, z = \ln(z + \sqrt{z^2 + 1} \,),$

• Гиперболический ареакосинус

$\operatorname{arcosh}\, z = \ln(z + \sqrt{z+1} \sqrt{z-1} \,),$

• Гиперболический ареатангенс

$\operatorname{artanh}\, z = \tfrac12\ln(\frac{1+z}{1-z}).$

• Гиперболический ареакотангенс

$\operatorname{arcoth}\, z = \tfrac12\ln(\frac{z+1}{z-1}).$

• Гиперболический ареасеканс

$\operatorname{arcsch}\, z = \ln\left( \frac{1}{z} + \sqrt{ \frac{1}{z^2} +1 } \,\right),$

• Гиперболический ареакосеканс

$\operatorname{arsech}\, z = \ln\left( \frac{1}{z} + \sqrt{ \frac{1}{z} + 1 } \, \sqrt{ \frac{1}{z} -1 } \,\right).$

Квадратными корнями в этих формулах являются главные значения квадратного корня и логарифмические функции являются функциями комплексной переменной. Для действительных аргументов можно осуществить некоторые упрощения, например $\sqrt{x+1}\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2-1}$, которые не всегда верно для главных значений квадратных корней.

Разложение в ряд

Обратные гиперболические функции можно разложить в ряды:

$\begin{align}\operatorname{arsinh}\, x & = x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} +\cdots \\ & = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1 \end{align}$

$\begin{align}\operatorname{arcosh}\, x & = \ln 2x - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots \right) \\ & = \ln 2x - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {(2n)} , \qquad x > 1 \end{align}$

$\begin{align}\operatorname{artanh}\, x & = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots \\ & = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1 \end{align}$

$\begin{align}\operatorname{arcsch}\, x = \operatorname{arsinh} \frac1x & = x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} +\cdots \\ & = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| > 1 \end{align}$

$\begin{align}\operatorname{arsech}\, x = \operatorname{arcosh} \frac1x & = \ln \frac{2}{x} - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots \right) \\ & = \ln \frac{2}{x} - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {2n} , \qquad 0 < x \le 1 \end{align}$

$\begin{align}\operatorname{arcoth}\, x = \operatorname{artanh} \frac1x & = x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots \\ & = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| > 1 \end{align}$

Asymptotic expansion for the arsinh x is given by

$\operatorname{arsinh}\, x = \ln 2x + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^{n - 1} \frac{{\left( {2n - 1} \right)!!}}{{2n\left( {2n} \right)!!}}} \frac{1}{{x^{2n} }}$

Производные

$\begin{align} \frac{d}{dx} \operatorname{arsinh}\, x & {}= \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arcosh}\, x & {}= \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\\ \frac{d}{dx} \operatorname{artanh}\, x & {}= \frac{1}{1-x^2}\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arcoth}\, x & {}= \frac{1}{1-x^2}\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arsech}\, x & {}= \frac{-1}{x(x+1)\,\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arcsch}\, x & {}= \frac{-1}{x^2\,\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}\\ \end{align}$

Для действительных x:

$\begin{align} \frac{d}{dx} \operatorname{arsech}\, x & {}= \frac{\mp 1}{x\,\sqrt{1-x^2}}; \qquad \Re\{x\} \gtrless 0\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arcsch}\, x & {}= \frac{\mp 1}{x\,\sqrt{1+x^2}}; \qquad \Re\{x\} \gtrless 0 \end{align}$

Пример дифференцирования: если θ = arsinh x, то:

$\frac{d\,\operatorname{arsinh}\, x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sinh \theta} = \frac{1} {\cosh \theta} = \frac{1} {\sqrt{1+\sinh^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

Комбинация гиперболических и обратных гиперболических функций

$\begin{align} &\operatorname{sinh}(\operatorname{arcosh}\,x) = \sqrt{x^{2} - 1} \quad \text{for} \quad |x| > 1 \\ &\operatorname{\sinh}(\operatorname{artanh}\,x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \quad \text{for} \quad -1 < x < 1 \\ &\operatorname{\cosh}(\operatorname{arsinh}\,x) = \sqrt{1+x^{2}} \\ &\operatorname{\cosh}(\operatorname{artanh}\,x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \quad \text{for} \quad -1 < x < 1 \\ &\operatorname{\tanh}(\operatorname{arsinh}\,x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} \\ &\operatorname{\tanh}(\operatorname{arcosh}\,x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} \quad \text{for} \quad |x| > 1 \end{align}$

Дополнительные формулы

$\operatorname{arsinh} \;u \pm \operatorname{arsinh} \;v = \operatorname{arsinh} \left(u \sqrt{1 + v^2} \pm v \sqrt{1 + u^2}\right)$

$\operatorname{arcosh} \;u \pm \operatorname{arcosh} \;v = \operatorname{arcosh} \left(u v \pm \sqrt{(u^2 - 1) (v^2 - 1)}\right)$

$\operatorname{artanh} \;u \pm \operatorname{artanh} \;v = \operatorname{artanh} \left( \frac{u \pm v}{1 \pm uv} \right)$

$\begin{align}\operatorname{arsinh} \;u + \operatorname{arcosh} \;v & = \operatorname{arsinh} \left(u v + \sqrt{(1 + u^2) (v^2 - 1)}\right) \\ & = \operatorname{arcosh} \left(v \sqrt{1 + u^2} + u \sqrt{v^2 - 1}\right) \end{align}$

$\operatorname{arcosh}(2x^2-1)=2\operatorname{arcosh}(x)$

См. также

• Гиперболические функции
• Обратные тригонометрические функции
• Таблица интегралов обратных гиперболических функций

Источники

• Herbert Busemann, Paul J. Kelly (1953) Projective Geometry and Projective Metrics, с. 207, Academic Press.

Ссылки

• Inverse hyperbolic functions на сайте MathWorld
• Inverse hyperbolic functions