Тороидальная система координат

Тороидальная система координат — ортогональная система координат в пространстве, координатными поверхностями которой являются торы, сферы и полуплоскости. Данная система координат может быть получена посредством вращения двумерной биполярной системы координат вокруг оси, равноудалённой от фокусов биполярной системы.

Определение

Тороидальной система координат $(\alpha, \beta, \varphi)$ определяется посредством формул перехода из этих координат в декартовы координаты:

$x = \frac{c \, \mathrm{sh} \, \alpha \cos \varphi}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta} \quad \quad y = \frac{c \, \mathrm{sh} \, \alpha \sin \varphi}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta} \quad \quad z = \frac{c \sin \beta}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta}$,

где $c > 0$ — масштабный множитель, который необходимо фиксировать для выбора определённой тороидальной системы координат, $0\leqslant\alpha < \infty, -\pi < \beta \leqslant \pi, -\pi < \varphi \leqslant\pi$.

Свойства

Координатные поверхности

$\alpha = \mathrm{const}$ — торы

$(\sqrt{x^2 + y^2} - c \, \mathrm{cth} \, \alpha)^2 + z^2 = \left( \frac{c}{\mathrm{sh} \, \alpha} \right)^2$,

$\beta = \mathrm{const}$ — сферы

$(z - c \, \mathrm{cth} \, \beta)^2 + x^2 + y^2 = \left( \frac{c}{\sin \beta} \right)^2$,

$\varphi = \mathrm{const}$ — полуплоскости

$\frac{x}{\cos \varphi} = \frac{y}{\sin \varphi}$.

Дифференциальные характеристики

• Метрический тензор в тороидальных координатах имеет вид:

$g_{ij}= \begin{pmatrix} \frac{c^2}{(\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta)^2} & 0 & 0\\ 0 & \frac{c^2}{(\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta)^2} & 0\\ 0 & 0 & \frac{c^2 \mathrm{sh}^2 \alpha }{(\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta)^2} \end{pmatrix},\quad g^{ij}=\begin{pmatrix} \frac{(\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta)^2}{c^2} & 0 & 0\\ 0 & \frac{(\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta)^2}{c^2} & 0\\ 0 & 0 & \frac{(\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta)^2}{c^2 \, \mathrm{sh}^2 \, \alpha} \end{pmatrix}.$

Он является диагональным, так как тороидальная система координат является ортогональной.

• Квадрат линейного элемента:

$ds^2 = \frac{c^2}{(\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta)^2} (d \alpha^2 + d \beta^2 + \mathrm{sh}^2 \alpha \, d \varphi^2)$.

• Квадрат элемента площади:

$dS^2 = \frac{c^4}{(\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta)^4} ((d \alpha \, d \beta)^2 + \mathrm{sh}^2 \alpha (d \alpha \, d \varphi)^2 + \mathrm{sh}^2 \alpha (d \beta \, d \varphi)^2)$.

• Элемент объёма:

$dV = \frac{c^3 \mathrm{sh} \, \alpha}{(\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta)^3} d \alpha \, d \beta \, d \varphi$.

• Коэффициенты Ламе:

$h_{\alpha} = h_{\beta} = \frac{c}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta}, \quad h_{\varphi} = \frac{c \, \mathrm{sh} \, \alpha}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta}$.

• Якобиан:

$\frac{\partial(x, y, z)}{ \partial(\alpha, \beta, \varphi)} = \frac{c^3 \mathrm{sh} \, \alpha}{(\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta)^3}$.

• Символы Кристоффеля второго рода:

$\Gamma^1_{ij}= \begin{pmatrix} 0 & -\frac{\sin \beta}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta} & 0\\ -\frac{\sin \beta}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta} & \frac{\mathrm{sh} \, \alpha}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta} & 0\\ 0 & 0 & \frac{\mathrm{sh} \, \alpha (\mathrm{ch} \, \alpha \cos \beta - 1)}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta} \end{pmatrix},$

$\Gamma^2_{ij}= \begin{pmatrix} \frac{\sin \beta}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta} & -\frac{\mathrm{sh} \, \alpha}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta} & 0\\ -\frac{\mathrm{sh} \, \alpha}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \frac{ \mathrm{sh}^2 \alpha \sin \beta}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta} \end{pmatrix},$

$\Gamma^3_{ij}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & -\frac{1}{(\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta)\mathrm{sh}^2 \alpha}\\ 0 & 0 & - \frac{\sin \beta}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta}\\ -\frac{1}{(\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta)\mathrm{sh}^2 \alpha} & - \frac{\sin \beta}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta} & 0 \end{pmatrix}.$

Вид дифференциальных операторов в тороидальных координатах

• Градиент скалярной функции в тороидальных координатах задается следующим выражением:

$\operatorname{grad}\,U(\alpha,\; \beta,\; \varphi) = \frac{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta}{c} \left(\frac{\partial U}{\partial \alpha}\vec{e}_{\alpha} + \frac{\partial U}{\partial \beta}\vec{e}_{\beta} + \frac{1}{\mathrm{sh} \, \alpha}\frac{\partial U}{\partial \varphi}\vec{e}_{\varphi} \right).$

• Дивергенция векторного поля:

$\ \operatorname{div} \mathbf F = \frac{(\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta)^2}{c^2 \, \mathrm{sh} \, \alpha} \left( \frac{\partial F_{\alpha}}{\partial \alpha} + \frac{\partial F_{\beta}}{\partial \beta} + \, \mathrm{sh} \, \alpha \frac{\partial F_{\varphi}}{\partial \varphi} \right) - \frac{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta}{c^2 \, \mathrm{sh} \, \alpha} (F_{\alpha} \, \mathrm{sh} \, \alpha - F_{\beta} \sin \beta)$

• Оператор Лапласа:

$\Delta u = \frac{(\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta)^3}{c^2 \, \mathrm{sh} \, \alpha} \left( \frac{\partial}{\partial \alpha} \left( \frac{\, \mathrm{sh} \, \alpha}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta} \frac{\partial u}{\partial \alpha} \right) + \frac{\partial}{\partial \beta} \left( \frac{\, \mathrm{sh} \, \alpha}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta} \frac{\partial u}{\partial \beta} \right) + \frac{1}{(\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta) \, \mathrm{sh} \, \alpha} \frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2} \right)$

Дифференциальные уравнения в тороидальных координатах

Уравнение Лапласа в тороидальных координатах имеет вид:

$\left( \frac{\partial}{\partial \alpha} \left( \frac{\, \mathrm{sh} \, \alpha}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta} \frac{\partial u}{\partial \alpha} \right) + \frac{\partial}{\partial \beta} \left( \frac{\, \mathrm{sh} \, \alpha}{\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta} \frac{\partial u}{\partial \beta} \right) + \frac{1}{(\mathrm{ch} \, \alpha - \cos \beta) \, \mathrm{sh} \, \alpha} \frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2} \right) = 0$

Для его решения удобно искать решение в виде:

$u = v \sqrt{2 \mathrm{ch} \alpha - 2 \cos \beta}$,

тогда уравнение для функции $v$:

$v_{\alpha \alpha} + v_{\beta \beta} + v_{\alpha} \mathrm{cth} \, \alpha + \frac{1}{4} v + \frac{1}{\mathrm{sh}^2 \alpha} v_{\varphi \varphi} = 0$.

После чего можно разделить переменные:

$v = A(\alpha)B(\beta)\Phi(\varphi)$.

В результате чего получится система:

$\begin{cases} A'' + \, \mathrm{cth} \, \alpha \, A' + \left(\frac{1}{4}-\frac{k_{\varphi}^2}{\mathrm{sh}^2 \alpha} - k_{\beta}^2\right) A = 0\\ B'' + k_{\beta}^2 B = 0 \\ \Phi'' + k_{\varphi}^2 \Phi = 0 \end{cases}$

В случае уравнения Гельмгольца в тороидальных координатах переменные не делятся.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Глава 6. Системы криволинейных координат. 6.5 Формулы для ортогональных систем координат // Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — С. 195. — 832 с.
• Морс Ф. М., Фешбах Г. Глава 5. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Таблица разделяющих координат для трёх измерений // Методы теоретической физики. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1958. — Т. 1. — С. 622. — 930 с.
• Тихонов А. Н., Самарский А. А. Часть IV. Формулы, таблицы, графики. IV. Различные ортогональные системы координат // Уравнения математической физики. — 7-е изд. — М.: Изд-во МГУ; Наука, 2004. — С. 732-733. — 798 с. — ISBN 5-211-04843-1

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Toroidal Coordinates (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.